2. Einführung in die mathematischen Methoden

Wahrscheinlichkeit (2/2)

Wir haben soeben die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses betrachtet, oder für das Eintreten einer Kombination von Ereignissen. Oft möchte man jedoch die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis bereits stattgefunden hat, wissen. In diesem Fall spricht man von bedingter Wahrscheinlichkeit.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $Pr\left\{B|A\right\}$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von B, vorausgesetzt, dass A bereits eingetreten ist. Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann mit der folgenden Gleichung ermittelt werden:

In der Gleichung ist $P\left\{B\cap A\right\}$ die gemeinsame Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A und B, oder die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten. Wenn die Ereignisse unabhängig voneinander sind, ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit das Produkt der beiden unabhängigen Wahrscheinlichkeiten.

Nehmen wir wieder unseren Würfel als Beispiel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine sechs zu bekommen, wenn wir vorher schon eine sechs gewürfelt haben? Wir wissen inzwischen, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, oder die Wahrscheinlichkeit zwei sechsen zu würfeln, 1/36 beträgt. Weiterhin ist die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer sechs im ersten Wurf 1/6, und die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf ebenfalls eine sechs zu werfen, ist ebenfalls 1/6.

Lassen Sie uns nun ein komplexeres Beispiel betrachten. Eine Fabrik stellt zwei Sorten Schrauben her, welche beide die selbe Aufgabe erfüllen. Die Produktion soll vereinfacht werden, indem nur noch eine Sorte hergestellt wird. Ein Kriterium, das hierbei betrachtet werden sollte, ist die Häufigkeit von Fehlern an den produzierten Schrauben. Um diese zu beurteilen, wurden Stichproben von Schrauben beider Sorten genommen und es wurde geprüft, wie viele von ihnen in Ordnung und wie viele fehlerhaft waren, wie in der folgenden Tabelle dargestellt.

Rechnet man die Werte in Wahrscheinlichkeiten um, so folgt:

Alle Werte in der Tabelle sind gemeinsame Wahrscheinlichkeiten der gesamten Stichprobe, daher ist P{Sorte A n Gut} = 0,56. Die Werte, die jeweils am Ende der Spalten oder Zeilen unter Gesamt stehen, sind die Einzelwahrscheinlichkeiten. Man erkennt, dass Sorte A 80% der Stichprobe ausmacht und Sorte B 20%. Außerdem sieht man, dass insgesamt 73% der Schrauben gut und 27% fehlerhaft sind. Was wir wirklich wissen wollen, ist: 'Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schraube fehlerhaft ist, wenn sie zu Sorte A oder B gehört?'

Auf Grundlage dieser Informationen scheint es am Besten zu sein, Schrauben der Sorte Sorte B statt A herzustellen.

Fragen

3. Wenn Pie in the Sky das erste Rennen gewinnt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Doughboy das zweite gewinnt?
   
   Hinweis: ↓↑

   In Frage 3 wird nach einer bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt, P{A|B} oder nach der Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B stattgefunden hat. Die Gleichung für die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet:

   $$P\left\{A\right|B\}=\frac{P\{A\cap B\}}{P\left\{B\right\}}$$

   wobei P{A∩B} die Wahrscheinlichkeit angibt, dass sowohl A als auch B eintritt. Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, dann ist

   $\begin{array}{l}P\{A\cap B\}=Pr\left\{A\right\}\cdot Pr\left\{B\right\}\text{und daher}\\ P\left\{A\right|B\}=\frac{P\left\{A\right\}\cdot Pr\left\{B\right\}}{P\left\{B\right\}}=P\{A\}\end{array}$
4. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Raddish beide Rennen gewinnt?
   
   
5. Welche Kombination von Ereignissen ist am Wahrscheinlichsten?
   
   
6. Sie wollen mehr als eine Wette für das Gewinnen beider Rennen abschließen, sodass Sie eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 25% oder mehr dafür erreichen, dass Sie eine der Wetten gewinnen. Was ist die Mindestzahl an Kombinationen, auf die Sie wetten müssten, um eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 30% zu erreichen?
   
   
7. Sie haben einem Stapel mit 52 Spielkarten und vier verschiedenen Farben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der nächsten an sie verteilten Karte um einen König handelt?
   
   
8. Von einem Stapel mit 52 Karten bekommen Sie ein Blatt mit fünf Karten ausgeteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu bekommen?
   
   
9. Sie bekommen wieder fünf Karten. Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie fünfmal Pik erhalten?