2. Einführung in die mathematischen Methoden

Die Binomialverteilung (2/2)

Regel Nummer 3 und 4 scheinen identisch zu sein, was sie im Falle des Werfens einer Münze oder eines Würfels auch sind, bei vielen Situationen im wirklichen Leben sind sie es jedoch nicht. Denken Sie einmal über die Frage nach: "Wenn ich zwei Wochen lang jeden Tag am selben Ort angeln gehe, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ich jeden Tag einen Fisch fange?" Dabei könnte Ihnen auffallen, dass Eigenschaft Nummer 4 bei diesem Experiment erfüllt ist, Eigenschaft 3 aber nicht, da die Wahrscheinlichkeit dafür, jeden Tag einen Fisch zu fangen, von ihrer Anzahl im Gewässer, vom Wasserstand und von zahlreichen weiteren Faktoren abhängt. Das bedeutet, die Erfolgswahrscheinlichkeit kann an jedem Tag anders sein.

Führt man nun n Versuche durch und will wissen, wie viele Kombinationen von x Ergebnissen man bei n Versuchen erhält, dann lautet die Antwort

( n x )

wobei:

( n x ) =  n! ( n−x )! · x!  =  n·( n−1 )·( n−2 )·… [ ( n−x )·( n−x−1 )·… ] [ x·( x−1 )·… ]
Das Fakultätszeichen ! ↓

Diese Gleichung für die Kombinationen von x Ereignissen aus n Versuchen ist einfach aufzustellen. Wenn Sie drei Versuche haben, wieviele Kombinationen von zwei Ereignissen können Sie dann bekommen? Sie können die Ergebnisse (1 und 2), (1 und 3) und (2 und 3) erhalten, die Antwort lautet also drei. Es lässt sich einfach zeigen, dass

( 3 2 )=3

Wenn Sie nun vier Versuche betrachten, für welche Sie die Anzahl der Kombinationen von zwei Versuchen wissen möchten, dann können dies Versuche (1 und 2), (1 und 3), (1 und 4), (2 und 3), (2 und 4) und (3 and 4) sein, d.h. insgesamt sechs. Es lässt sich wieder zeigen, dass gilt:

( 4 2 )=6


Wir lernen daraus, dass es bei n Versuchen

( n x )

Kombinationen gibt, die x Erfolge beinhalten. Sollen wir jedoch die Wahrscheinlichkeit für x Erfolge in n Versuchen bestimmen, dann muss auch die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Versuch bekannt sein. Sagen wir einmal, die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einem Versuch sei p. Die Versuche sind unabhängig, die Wahrscheinlichkeit, das Ziel von x Erfolgen zu erreichen hängt aber von den vorherigen Ergebnissen ab, sodass die Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden können. Bei drei Versuchen, in denen Sie zwei Erfolge haben wollen, lautet die Wahrscheinlichkeit p·p·(1-p), was mit der Zahl der Kombinationen, bei denen diese Anzahl an Erfolgen auftreten kann, multipliziert werden muss. Oder:

( 3 2 )

Nun kann die allgemeine Form der Binomialgleichung angegeben werden:

f( x ) = ( n x )  p x   ( 1−p ) ( n−x )

Mittelwert und Varianz der Binomialverteilung können ebenfalls von den allgemeinen Gleichungen abgeleitet werden, sodass sich für Mittelwert und Varianz Folgendes ergibt:

E(x)=μ=np Var(x)= σ 2 =np(1−p)

Fragen:

  1. Wie lautet die theoretische WDF für das zufällige Auswählen einer Karte mit einer bestimmten Zahl oder einem bestimmten Bild (beispielsweise 2, 3, Ass …, Bube etc.) aus einem Stapel mit 52 Karten?
    Mischen Sie einen Stapel mit 52 Karten und wählen Sie dann eine einzelne Karte aus. Wiederholen Sie dies 30 mal, um zur Beantwortung der Frage eine WDF für die Stichprobe abzuleiten.

  2. Wenn Sie den Stapel nur einmal mischen und dann 30 Karten zufällig vom Stapel ziehen, inwiefern weicht diese WDF von der in Frage 1 abgeleiteten ab?
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