الملحق رقم 1.2: حل معادلات Maxwell للموجات الكهرومغناطيسية (1\3)

معادلات الموجة

في الملحق رقم 1 كانت معادلات Maxwell مكتوبة على النحو التالي:

∇⋅ E → = ρ ε            ∇⋅ B → =0
∇× E → =− ∂ B → ∂t            ∇× B → =μ j → +εμ ∂ E → ∂t

لا توجد في الفراغ شحنات و تيارات كهربائية، و بالتالي لا يوجد كثافة شحنات ρ و لا كثافة تيارات j → ، و أما بالنسبة لخواص المادة الكهربائية و المغناطيسية εr و μr فتكون متساوية:

ρ=0            j → =0            εr=μr=1

و من ثم تبسط معادلات Maxwell للشكل المتماثل جدا:

∇⋅ E → =0            ∇⋅ B → =0
∇× E → =− ∂ B → ∂t            ∇× B → = ε o μ o ∂ E → ∂t

بأخذ التموج للمعادلة الثالثة و إستبدال مشتقة الوقت و المعامل ∇ (المسموح به مع الحقول المستمرة)،

∇×( ∇× E → )=−∇× ∂ B → ∂t =− ∂ ∂t ( ∇× B → )

و بتعويضها في المعادلة الرابعة يعطي:

∇×( ∇× E → )=− ε o μ o ∂ 2 E → ∂ t 2

كما هو مبين في التحليل المتجهي، تحوي العلاقات التالية:

∇×( ∇× E → )=∇( ∇⋅ E → )−( ∇⋅∇ ) E →

بأخذ معادلة Maxwell الأولى، ∇⋅ E → =0 ، و إدخال معامل لابلاس (أو: معامل دلتا) Δ=∇⋅∇ الذي يمثل مشتقة الدرجة الثانية، تصبح بالتالي للمجال الكهربائي:

Δ E → = ε o μ o ∂ 2 E → ∂ t 2

بنفس الطريقة، و بأخذ تموج المعادلة الرابعة، و من ثم بتعويضها في المعادلة الثالثة آخذين المعادلة الثانية بعين الإعتبار، تصبح معادلة متماثلة للمجال المغناطيسي:

Δ B → = ε o μ o ∂ 2 B → ∂ t 2

كلا المعادلتين يجمعان كل من المشتقة الثانية المكانية و الزمانية للمجال الكهربائي و المغناطيسي على التوالي. و يصفان خصائص كميات المجال هذه في الفراغ.

و بعبارة أخرى، فإن المجالات المغناطيسية و الكهربائية تستمر في ظل عدم وجود شحنات و تيارات كهربائية إذا كان سلوكها المكاني و الزماني يتوافق مع هذه المعادلات. سنرى بالأسفل أن هذا يتوافق مع الحقول التي تميز الموجات الكهرومغناطيسية. لذلك، كلا المعادلتين تسميان معادلات الموجة.

السؤال الأول: معامل لابلاس ↓