الملحق رقم 1.2: حل معادلات Maxwell للموجات الكهرومغناطيسية (2\3)

حل معادلة الموجة

قمنا بإشتقاق معادلات الموجة التي تميز المجالات الكهرومغناطيسية في الفراغ. فهي تجمع بين المشتقات المكانية و الزمانية الثانية للمجال الكهربائي و المغناطيسي:

Δ E → = ε o μ o ∂ 2 E → ∂ t 2            Δ B → = ε o μ o ∂ 2 B → ∂ t 2

لقد إختبرنا متجهة المجال الكهربائي E → للموجة عند الموقع r → =( x,y,z ) في الفضاء. من المفترض أن تنتشر الموجة في إتجاه معطى من قبل متجهة الوحدة a → . و بالتالي فإن معادلة الموجة للمجال الكهربائي تحل بإستخدام المعادلة التالية:

E → = E → o  f( a → ⋅ r → − 1 ε o μ o t )

حيث أن E → o هو متجهة ثابت له نفس الإتجاه مثل E → و f هو الإقتران الثاني القابل للإشتقاق.

و مع معادلة Maxwell الأولى للإنتشار للمجال الكهربائي تصبح:

∇⋅ E → = a → ⋅ E → o   ∂ ∂r f( a → ⋅ r → − 1 ε o μ o t )=0

و لذلك:                          a → ⋅ E → o =0

إن الضرب النقطي لمتجهين يتلاشى إذا كان المتجهان متعامدان على بعضها البعض. و من هنا فإن E → o و كذلك E → متعامدان على إتجاه إنتشار الموجة.

في معادلة Maxwell الثالثة

∇× E → =− ∂ B → ∂t

إن المتجهة ∇× E → متعامد على E → . و بما أن مشتقة الوقت لا تغير إتجاه B → ، فإنه من الواضح أن E → و B → متعامدان على بعضها البعض، و كلاهما متعامد على إتجاه إنتشار الموجة: الموجات الكهرومغناطيسية هي موجات مستعرضة.

الموجات المستوية أحادية اللون

في الفصل الأول، و في قسم الموجات الكهرومغناطيسية في الصفحة رقم 2، كان المجال الكهربائي E-field و المجال المغناطيسي B-field للموجة المستوية أحادية اللون المتحركان بإتجاه المحور x (متجاهلا رمز المتجهة لـ E → و B → ) مكتوبان على النحو التالي:

E(x,t)= E o sin2π( x λ − t T )          B(x,t)= B o sin2π( x λ − t T )

هناك صيغة بديلة لهذه المعادلات تستخدم

  • التردد الزاوي ω، مع ω=2πf= 2π /T ، و
  • رقم الموجة k، مع k= 2π /λ .

مع هذه الكميات، تصبح المعادلات بالأعلى:

E(x,t)= E o sin( kx−ωt )          B(x,t)= B o sin( kx−ωt )

سوف نستخدم هذا الشكل من المعادلات بشكل أوسع في الملاحق.