الملحق رقم 1.2: حل معادلات Maxwell للموجات الكهرومغناطيسية (3\3)

الموجات المستوية أحادية اللون      ... تكملة

الموجات التي تنتشر في إتجاهات إعتباطية a → يمكن الحصول عليها من خلال تحويل رقم الموجة k إلى متجهة بإتجاه الموجة المنتشرة، k a → . و هذا هو متجهة الموجة k → ، حيث أن

| k → |= k=2π /λ .

إن المجال الكهربائي و المجال المغناطيسي للموجات و المنتشر في إتجاه معطى وفقا لإتجاه k →   يصبح بذلك:

E → ( r → ,t)= E → o sin( k → ⋅ r → −ωt )
B → ( r → ,t)= B → o sin( k → ⋅ r → −ωt )

ما هي العلاقة التي توجد بين E → و B → ؟ إنهما مرتبطان معا في معادلتي Maxwell الثالثة و الرابعة. على سبيل المثال، تدل المعادلة الثالثة على أن:

∇× E → =− ∂ B → ∂t

نختار موجة كهرومغناطيسية تنتشر في إتجاه المحور x. و بما أن متجهات المجال متعامدة على x، فإنها تقل في الإحداثيات الديكارتية إلى:

E → =( 0, E y , E z )            B → =( 0, B y , B z )

مع هذه المتجهات، تصيح معادلة Maxwell الثالثة:

مركبة y هي:            ∂ E z ∂x = ∂ B y ∂t
مركبة z هي:            ∂ E y ∂x =− ∂ B z ∂t

(تختفي مركبة x لأن Bx=0).

السؤال الثاني: معادلة Maxwell الثالثة في المركبات الديكارتية ↓

لحل المركبة y، فإننا نختار مجال كهربائي ذو منحنى الجيب Ez:

E z = E z,o sin( kx−ωt )

مع المشتقات الجزئية بالنسبة لـ x, ∂ E z ∂x ، يمكن الحصول لمركبة y للمجال المغناطيسي:

B y =∫ ∂ E z ∂x dt =− k ω E z

بنفس الطريقة، و بحل مركبة z لمعادلة Maxwell يعطي:

B z = k ω E y
السؤال الثالث: تكامل معادلة ماكسويل الثالثة؟ ↓

كلا معادلتي المركبات يمكن جمعها في معادلة متجهة واحدة:

B → = k ω a → × E →

حيث أن a → هو مرة أخرى متجهة وحدة يشير إلى إتجاه إنتشار الموجات. حيث العلاقات تثبت أن

  • E → و B → و إتجاه إنتشار الموجة جميعها متعامدة (ما كنا قد وجدناه بالفعل بالأعلى)، و
  • E → و B → لهما عند كل نقطة طور متشابه (مثل التقاطع عند الصفر و القيم العظمى...)، كما هو مبين في الرسم البياني في الفصل الأول في قسم الموجات الكهرومغناطيسية.