Ergänzung 1.3: Die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen

Die Phasengeschwindigkeit monochromatischer Wellen

Die Geschwindigkeit einer monochromatischen Welle lässt sich leicht ermitteln. Wir betrachten das elektrische Feld $\overrightarrow{E}$ einer Welle, die sich in Richtung des Wellenvektors $\overrightarrow{k}$ ausbreitet:

Die Geschwindigkeit folgt aus der Bedingung

d.h. wir betrachten den Ort $\overrightarrow{r}$ als Funktion der Zeit t, an dem das Feld einen konstanten Wert einnimmt. Wegen ${\overrightarrow{E}}_o=\text{const}\text{.}$ bei ebenen Wellen ist dies gleichbedeutend mit einem konstanten Argument der Sinusfunktion:

Die Geschwindigkeit ergibt sich dann durch Ableiten von $\left|\overrightarrow{r}\right|=r$ nach t:

Dies ist die Phasengeschwindigkeit c der Welle, im Fall elektromagnetischer Wellen die Lichtgeschwindigkeit. Mit $\omega =2\pi f$ und $k=2\pi /\lambda$ ergibt sich:

Wir können etwas über den Zusammenhang zwischen der Lichtgeschwindigkeit und elektrischen bzw. magnetischen Größen lernen, wenn wir die Wellengleichung

mit dem Ansatz              $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)={\overrightarrow{E}}_{o}sin\left(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t\right)$

lösen (die Gleichungen für $\overrightarrow{B}$ würde das gleiche Ergebnis liefern).

 

Zweimaliges Ableiten von $\overrightarrow{E}$ nach Raum und Zeit ergibt

und daher:                             $c_o=\frac{\omega }{k}=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_o{\mu }_o}}$

Dies ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit c_o, eine fundamentale Konstante der Physik. Mit der Dielektrizitätskonstante ε_o=8.854·10^-12 A·s/(V·m) und der magnetischen Feldkonstante μ_o=1.256·10^-6 V·s/(A·m) erhät man:

oder circa 300 000 km/s.

Die Lichtgeschwindigkeit c in Materie ist kleiner als die Vakuumlicht- geschwindigkeit:

mit der relativen Dielektrizitätszahl ε_r und Permeabilitätszahl μ_r der Materie. Dies ist die Maxwell-Beziehung. Für transparente Stoffe ist μ_r≈1. Für Wasser und Glas ist ε_r≈1,8 und 2,25 bei sichtbaren Lichtwellenlängen, was die geringere Lichtgeschwindigkeit in diesen Stoffen erklärt, wie auf Seite 2 des Abschnitts elektromagnetische Wellen in Kapitel 1 schon genannt.

Die Brechzahl n der Materie ist durch $n=\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}$ gegeben, und daher gilt:

Mit diesem Ergebnis können die Wellengleichungen folgendermaßen geschrieben werden:

Das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit verknüpft somit die zweiten räumlichen und zeitlichen Ableitungen des elektrischen und des magnetischen Felds.