Supplément 1.3: La vitesse des ondes électromagnétiques

La vitesse de phase des ondes monochromatiques

La vitesse d'une onde monochromatique peut être facilement calculée. Nous considérons le champ électrique $\vec{E}$ d'une onde se déplaçant dans la direction du vecteur d'onde $\vec{k}$ :

\vec{E} (\vec{r}, t) = {\vec{E}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

La vitesse de l'onde est obtenue en fixant

\vec{E} (\vec{r}, t) = const .

c'est-à-dire en regardant les positions $\vec{r}$ à des instants t d'une valeur fixe du champ. Puisque ${\vec{E}}_{o} = const .$ dans le cas des ondes planes, ceci est équivalent à un argument constant de la fonction sinus :

\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t = const .

La vitesse est calculée en différenciant $| \vec{r} | = r$ en fonction de t:

\frac{d r}{d t} = \frac{ω}{k}

Il s'agit de la vitesse de phase c de l'onde. Dans le cas des ondes électromagnétiques, il s'agit de la vitesse de la lumière. Avec $ω = 2 π f$ et $k = 2 π / λ$ on obtient le résultat suivant :

c = \frac{ω}{k} = f λ

Nous pouvons en savoir plus sur la dépendance de la vitesse de la lumière par rapport aux paramètres électriques et magnétiques en résolvant l'équation d'onde

Δ \vec{E} = ε_{o} μ_{o} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

avec $\vec{E} (\vec{r}, t) = {\vec{E}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)$

(l'utilisation des équations pour $\vec{B}$ conduit à un résultat identique).

Équations ↓

La seconde différenciation de $\vec{E}$ en fonction de l'espace et du temps conduit à

k^{2} \vec{E} = ε_{o} μ_{o} ω^{2} \vec{E}

et donc : $c_{o} = \frac{ω}{k} = \frac{1}{\sqrt{ε_{o} μ_{o}}}$

C'est la vitesse de la lumière dans le vide c_o, qui est une constante fondamentale en physique. Avec la permittivité du vide ε_o=8,854·10^-12 A·s/(V·m) et la perméabilité du vide μ_o=1,256·10^-6 V·s/(A·m) on obtient :

c_o=2,998·10⁸ m/s

ou 300 000 km/s, approximativement.

La vitesse de la lumière c dans la matière est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide :

c = \frac{ω}{k} = \frac{1}{\sqrt{ε μ}} = \frac{1}{\sqrt{ε_{r} ε_{o} μ_{r} μ_{o}}}

avec la permittivité relative ε_r et la perméabilité μ_r du matériau. Cette équation est appelée relation de Maxwell.. Pour les matériaux transparents, elle est de μ_r≈1. Pour l'eau et le verre aux fréquences de la lumière visible, elle est ε_r≈1,8 et 2,25, ce qui explique leur vitesse de lumière plus faible comme indiqué au chapitre 1, section ondes électromagnétiques à la page 2.

L'indice de réfraction n de la matière est donné par $n = \sqrt{ε_{r} μ_{r}}$ , et donc :