Supplement 1.3: De snelheid van elektromagnetisch golven

De fasesnelheid van monochromatische golven

De snelheid van een monochromatische golf kan gemakkelijk berekend worden. We bekijken het elektrisch veld E van een golf die zich voortplant in de richting van de golfvector k :

E ( r ,t)= E o sin( k r ωt )

De snelheid van de golf wordt verkregen door

E ( r ,t)=const. ,

te zetten, d.w.z. door te kijken naar posities i.e., looking at positions r op tijden t van een vaste waarde van het veld. Daar E o =const. in het geval van vlakke golven, is dit equivalent aan een constant argument van de sinusfunctie:

k r ωt=const.

De snelheid wordt berekend door | r |=r ten opzichte van t te differentiëren:

dr dt = ω k

Dit is de fasesnelheid c van de golf. In het geval van elektromagnetische golven, is dit de lichtsnelheid. Met ω=2πf en k= 2π /λ volgt:

c= ω k =fλ

We kunnen meer te weten komen over de afhankelijkheid van de lichtsnelheid op elektrische en magnetische parameters door de golfvergelijking op te lossen

Δ E = ε o μ o 2 E t 2

met                                 E ( r ,t)= E o sin( k r ωt )

(gebruik makend van de vergelijkingen voor B leidt tot een identiek resultaat).

 

Tweede differentiatie van E ten opzichte van ruimte en tijd leidt tot

k 2 E = ε o μ o ω 2 E

en dus:                             c o = ω k = 1 ε o μ o

Dit is de lichtsnelheid in vacuüm co, wat een fundamentele constante is in de fysica. Met de diëlektrische constante in vacuüm εo=8,854·10-12 A·s/(V·m) en de doorlatendheid in vacuüm μo=1,256·10-6 V·s/(A·m) krijgt men:

co=2,998·108 m/s

of 300 000 km/s bij benadering.

De lichtsnelheid c in materie is kleiner dan de lichtsnelheid in vacuüm:

c= ω k = 1 εμ = 1 ε r ε o μ r μ o ,

bij de relatieve diëlektrische constante εr en doorlatendheid μr van het materiaal. Deze vergelijking wordt de relatie van Maxwell genoemd. Voor doorzichtige materialen is μr≈1. Voor water en glas bij frequenties van zichtbaar licht is εr≈1,8 en 2,25, wat de lagere lichtsnelheid ervan verklaart zoals aangegeven in hoofdstuk 1, in het gedeelte elektromagnetische golven op pagina 2.

De breekindex n van materie wordt gegeven door n= ε r μ r , en dus:

c= c o n

Met deze uitkomst zijn de vergelijkingen voor elektromagnetische golven:

Δ E = 1 c 2 2 E t 2            Δ B = 1 c 2 2 B t 2

De lichtsnelheid in het kwadraat verbindt de ruimtelijke en temporele afgeleiden van de tweede orde van de grootheden van het elektrisch en het magnetisch veld.