Ergänzung 1.5: Masse, Energie und Impuls von Teilchen und Photonen (2/2)

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Quadriert man die Beziehungen für Energie und Impuls und setzt sie ineinander ein, so erhält man eine Gleichung für die relativistische Energie eines Teilchens in der folgenden Form:

E = \sqrt{p^{2} c^{2} + m_{o}^{2} c^{4}}

Ausführliche Rechnung ↓

Quadrieren der Gleichung für die relativistische Teilchenenergie:

E^{2} = m^{2} c^{4} = \frac{m_{o}^{2} c^{4}}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{m_{o}^{2} c^{6}}{c^{2} - v^{2}}

Umformen, $E^{2} c^{2} = E^{2} v^{2} + m_{o}^{2} c^{6}$

teilen durch c² und ersetzen von E² im ersten Term der rechten Seite durch m²c⁴ liefert:

E^{2} = m^{2} c^{2} v^{2} + m_{o}^{2} c^{6}

Ersetzt man im ersten Term der rechten Seite das Produkt m²v² durch p² und bildet die Wurzel, so folgt die angegebene Gleichung.

Energie und Impuls von Photonen

Die Ruhemasse von Photonen ist Null. Aus der oben angegebenen Gleichung für die relativistische Energie eines Teilchens folgt mit m_o=0:

E = p c

Da andererseits die Energie von Photonen nach Planck und Einstein gleich

E = h f

ist, erhalten wir für den Impuls von Photonen die Gleichung:

p = \frac{h}{c} f = \frac{h}{λ}

In der Ergänzung 1.2, Seite 2, hatten wir zwei Größen eingeführt, die alternativ zur Frequenz f und Wellenlänge λ genutzt werden können: die Kreisfrequenz ω, mit $ω = 2 π f$ , und die Wellenzahl k, mit $k = 2 π / λ$ .

Oft wird statt des Planckschen Wirkungsquantums h eine alternative Größe benutzt: das sogenannte reduzierte Plancksche Wirkungsquantum $ℏ = h / 2 π$ (“ha quer” gesprochen).

Mit diesen Größen kann man schreiben: $E = ℏ ω$ , $p = ℏ k$ .

Teilchen mit einer von Null verschiedenen Ruhemasse

haben eine Energie $E = m c^{2}$ und einen Impuls $p = m v$
haben eine bewegte Masse, die mit der Geschwindigkeit wächst und bei Lichtgeschwindigkeit unendlich groß würde; daher können sie die Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen

Photonen

haben eine Ruhemasse gleich Null und breiten sich immer mit Lichtgeschwindigkeit aus
haben eine Energie $E = h f$ oder $E = ℏ ω$
und einen Impuls $p = \frac{h}{λ}$ oder $p = ℏ k$

Spektren der Erde

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