Ergänzung 2.2: Das Plancksche Strahlungsgesetz (2/2)

Energie der Wellen

Nach dem Gleichverteilungssatz der Thermodynamik ist die mittlere kinetische Energie eines Atoms oder eines anderen Mikroteilchens alleine durch die absolute Temperatur $T$ bestimmt und durch $k T$ gegeben, mit der Boltzmann-Konstante $k = 1,38 \cdot 10^{- 23} J/K$ (dies ist etwas vereinfacht dargestellt, was aber hier keine Rolle spielt).

Dieser Ausdruck trifft auch auf die mittlere Energie einer Hohlraumwelle zu. Die mittlere Gesamtenergie aller Wellen im Frequenzintervall $d f$ erhält man, indem die mittlere Energie der einzelnen Wellen mit der Anzahl der Wellen multipliziert wird:

k T d N = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} V k T d f

Wird die mittlere Gesamtenergie auf das Volumen bezogen, so ergibt sich die Energiedichte der Wellen im Frequenzintervall $d f$ :

d U = u_{f} d f = \frac{k T}{V} d N = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} k T d f

Die Gleichung der spektralen Energiedichte

u_{f} = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} k T

ist das Rayleigh-Jeans-Strahlungsgesetz. Es wurde von Lord Rayleigh und von Sir James Hopwood Jeans im Jahr 1900 gefunden, zeitnah zur Formulierung des Planckschen Strahlungsgesetzes. Es beschreibt die Strahlung schwarzer Körper im Bereich kleiner Frequenzen unterhalb des Maximums des Strahlungsspektrums (oder: großer Wellenlängen oberhalb des Maximums) recht gut. Allerdings besitzt die Gleichung kein Maximum. Vielmehr steigt sie wegen der quadratischen Abhängigkeit von der Frequenz zu hohen Frequenzen (oder: zu kleinen Wellenlängen) hin beliebig an, was als "Ultraviolettkatastrophe" dieses Gesetzes bezeichnet wurde.

Max Planck wählte statt $k T$ einen anderen Ansatz für die Energie der Wellen. Er betrachtete die schwingenden Atome an der Oberfläche des Hohlraums und setzte ihre kinetische Energie gleich

E_{n} = n \cdot h f

mit $n = 0, 1, 2, 3, ...$ . Die Quantenzahl $n$ der atomaren Oszillatoren stimmt mit der Modenzahl der elektromagnetischen Wellen überein. In der Tat setzte Planck die Energie eines Oszillators gleich der Energie der an ihn gekoppelten Welle. Dies stellt eine Quantisierung der Strahlung dar, woraus sich dann das Photonenmodell entwickelte.

Klassische Oszillatoren ↓

Ein klassischer linearer Oszillator, zum Beispiel eine an einer Schraubenfeder schwingende Masse, wird mit dem Hookeschen Gesetz beschrieben: die Rückstellkraft $F$ der um die Strecke $x$ ausgelenkten Feder ist gleich

F = - D x

Die Größe $D$ ist die Federkonstante, welche die Härte oder Weichheit der Feder charakterisiert. Linear bedeutet, dass die Auslenkung proportional zur Kraft ist (was nicht mehr gilt, wenn die Feder zu weit ausgelenkt und somit überdehnt wird).

Auslenkung einer Schraubenfeder.
Quelle: Wikimedia Commons.

Die in der Feder gespeicherte Energie berechnet sich aus dem Integral der Kraft über den Weg:

E = \int F d x = - \frac{1}{2} D x^{2}

Die Energiewerte des klassischen Oszillators sind kontinuierlich verteilt.

Quantenmechanische Oszillatoren ↓

Ein quantenmechanischer linearer Oszillator gehorcht dem selben Kraftgesetz wie der klassische Oszillator. Berechnet man mit der Schrödinger-Gleichung seine Energiewerte, so stellt sich heraus, dass sie nach der Gleichung

E_{n} = (n + \frac{1}{2}) \cdot h f

mit $n = 0, 1, 2, ...$ quantisiert sind. Die Energie dieses Oszillators kann nicht Null werden, sondern ist mindestens gleich der Nullpunktsenergie

E_{n = 0} = \frac{1}{2} h f

Die quantenmechanische Rechnung, welche die Nullpunktsenergie liefert, kannte Max Planck nicht, da die Quantenmechanik erst in späteren Jahren entstand. Der Unterschied zu der von ihm genutzten Energiegleichung $E_{n} = n \cdot h f$ spielt jedoch für die Berechnung seines Strahlungsgesetzes keine Rolle.

Die Wahrscheinlichkeit $p_{n}$ , dass sich ein Oszillator im Zustand $n$ mit der Energie $E_{n} = n \cdot h f$ befindet, wird als Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands bezeichnet und ist durch die Boltzmann-Verteilung gegeben:

p_{n} = \frac{1}{Z} exp (- \frac{n \cdot h f}{k T})

Die Besetzungswahrscheinlichkeit nimmt mit zunehmender Energie exponentiell ab. Auch hier spielt die Temperatur eine entscheidende Rolle: mit wachsender Temperatur werden hoch liegende Energiezustände stärker besetzt.

Die Größe $Z$ im Nenner der Besetzungswahrscheinlichkeit ist die sogenannte Zustandssumme:

Z = \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- \frac{n \cdot h f}{k T})

Die Zustandssumme lässt sich als geometrische Reihe berechnen, das Ergebnis ist:

Z = \frac{1}{1 - exp (- h f / k T)}

Beweis ↓

Mit der Abkürzung

q = exp (- h f / k T)

wird $Z = \sum_{n = 0}^{\infty} q^{n}$ . Es ist $| q | < 1$ , die Reihe konvergiert daher:

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = lim_{k \to \infty} \sum_{n = 0}^{k} q^{n} = lim_{k \to \infty} \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} = \frac{1 - lim_{k \to \infty} q^{k + 1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - q}

$Z$ normiert die Besetzungswahrscheinlichkeiten so, dass ihre Summe über alle Energiewerte gleich 1 (oder: 100%) wird:

\sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} = 1

Der thermische Mittelwert der Quantenzahlen $n$ der Hohlraumstrahlung ist:

⟨ n ⟩ = \sum_{n = 0}^{\infty} n p_{n} = \frac{1}{Z} \sum_{n = 0}^{\infty} n exp (- n h f / k T)

Setzen wir für eine bessere Übersichtlichkeit $h f / k T = α$ , so wird der Summenterm:

\sum_{n = 0}^{\infty} n exp (- n α) = - \frac{d}{d α} \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- n α)

Die Umrechnung in die Ableitung nach $α$ erleichtert sehr die weitere Rechnung, da die Summe auf der rechten Seite bereits oben berechnet wurde, sodass folgt:

- \frac{d}{d α} \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- n α) = - \frac{d}{d α} (\frac{1}{1 - exp (- α)}) = \frac{exp (- α)}{{(1 - exp (- α))}^{2}}

Einsetzen in die Gleichung für $⟨ n ⟩$ liefert mit dem Ergebnis für $Z$ :

⟨ n ⟩ = \frac{exp (- h f / k T)}{1 - exp (- h f / k T)} = \frac{1}{exp (- h f / k T) - 1}

Die mittlere thermische Energie der Hohlraumstrahlung ist dann:

⟨ E ⟩ = ⟨ n ⟩ h f = \frac{h f}{exp (h f / k T) - 1}

Dieser Ausdruck ersetzt die zu Anfang dieser Seite genannte mittlere kinetische Energie $k T$ . Wird dies in der Gleichung der spektralen Energiedichte berücksichtigt, erhält man die Plancksche Strahlungsgleichung:

u_{f} = \frac{8 π f^{2}}{c^{3}} \frac{h f}{exp (h f / k T) - 1}

Übergang zur klassischen Physik ↓

Für sehr hohe Temperaturen, d.h. für $k T ≫ h f$ , wird

exp (- h f / k T) \approx exp (0) = 1

Damit wird $Z \approx 1$ und $p_{n} \approx 1$ , die Quantenzahl $n$ verliert ihre Bedeutung.

Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion mit negativem Exponenten in der Planck-Gleichung kann nach dem zweiten Glied abgebrochen werden:

\begin{array}{l} exp (h f / k T) = 1 + h f / k T + \frac{{(h f / k T)}^{2}}{2!} + ... \\ \approx 1 + h f / k T \end{array}

Einsetzen in die Gleichung für $⟨ E ⟩$ liefert den Wert $k T$ . Einsetzen in die Energiedichte nach Planck liefert das Rayleigh-Jeans-Strahlungsgesetz. Dies wird als klassischer Grenzfall der quantenmechanischen Beziehungen bezeichnet.

Spektren der Erde

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