Supplement 2.2: De stralingswet van Planck (2/2)

Energie van golven

Volgens de Wet van Gelijk Verdeling van Energie in de thermodynamica wordt de gemiddelde kinetische temperatuur van een atoom of een ander microdeeltje uitsluitend bepaald door de absolute temperatuur $T$ en gegeven door $k T$ , waarbij $k = 1,38 \cdot 10^{- 23} J/K$ de constante van Boltzmann is (het is nu niet van belang dat dit een vereenvoudigde weergave is).

Deze uitdrukking komt ook overeen met de gemiddelde energie van een golf in een holte. De gemiddelde waarde van de totale energie van alle golven in een frequentie-interval $d f$ kan worden verkregen door de gemiddelde energie van de afzonderlijke golven te vermenigvuldigen met $d N$ , het totale aantal golven in dat frequentie-interval:

k T d N = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} V k T d f

Als we de totale energie relateren aan het volume, krijgen we de energiedichtheid van de golven binnen het frequentieinterval $d f$ :

d U = u_{f} d f = \frac{k T}{V} d N = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} k T d f

De vergelijking van de spectrale energiedichtheid

u_{f} = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} k T

is de stralingswet van Rayleigh-Jeans. Deze wet is in 1900 afgeleid door Lord Rayleigh en Sir James Hopwood Jeans, binnen een nauw tijdsbestek na de stralingswet van Planck. De wet beschrijft de straling van zwarte lichamen bij lage frequenties, korter dan het maximum van het stralingsspectrum (of: bij lange golflengten, langer dan het maximum) vrij betrouwbaar. De vergelijking heeft echter geen maximum. In plaats daarvan nemen de waarden kwadratisch toe naar hogere frequenties (of: lagere golflengten), wat de 'ultravioletcatastrofe' van deze wet wordt genoemd.

Max Planck koos daarentegen een andere formulering dan $k T$ om de energie van de golven te benaderen. Hij beschouwde de oscillerende atomen aan het oppervlak van de holte en stelde hun kinetische energie gelijk aan

E_{n} = n \cdot h f

met $n = 0, 1, 2, 3, ...$ . Het kwantumnummer $n$ van de atomaire oscillatoren komt overeen met het modusnummer van de elektromagnetische golven. In feite stelde Planck de energie van een oscillator gelijk aan de energie van de golf die eraan gekoppeld is. Dit vertegenwoordigt een kwantisering van de straling, waardoor het fotonmodel zich ontwikkelde.

Klassieke oscillatoren ↓

Een klassieke lineaire oscillator, bijvoorbeeld een massa bevestigd aan een spiraalveer, wordt beschreven door de wet van Hooke: De herstelkracht $F$ uitgeoefend door de veer is evenredig met de verplaatsing $x$ . Deze is gelijk aan

F = - D x

met de veerconstante $D$ . Lineair betekent dat de kracht zich evenredig gedraagt met de mechanische verplaatsing en niet aan een andere relatie gehoorzaamt (wat wel het geval zou zijn als de veer te ver is uitgerekt).

Verplaatsing van een spiraalveer.
Bron: Wikimedia Commons.

De energie die is opgeslagen in de veer wordt berekend door de kracht te integreren over de verplaatsing:

E = \int F d x = - \frac{1}{2} D x^{2}

Voor de energie opgeslagen in de veer zijn continue waarden mogelijk.

Kwantummechanische oscillatoren ↓

Een kwantummechanische lineaire oscillator gehoorzaamt aan dezelfde wet van krachten. Als we de energie berekenen met behulp van de Schrödingervergelijking, vinden we dat deze gekwantiseerd is door de volgende vergelijking:

E_{n} = (n + \frac{1}{2}) \cdot h f

door $n = 0, 1, 2, ...$ . De energie van deze oscillator kan dus niet gelijk zijn aan nul, maar moet minstens even hoog zijn als de nulpuntenergie

E_{n = 0} = \frac{1}{2} h f

Max Planck kon de juiste kwantummechanische berekening niet weten omdat de kwantumtheorie zich later ontwikkelde. Het verschil met de door hem gebruikte energievergelijking $E_{n} = n \cdot h f$ speelt echter geen rol bij de berekening van zijn stralingswet.

De kans $p_{n}$ dat een oscillator zich in toestand $n$ bevindt met de energie $E_{n} = n \cdot h f$ wordt de bezettingskans van de toestand genoemd en wordt beschreven door de Boltzmann-verdeling:

p_{n} = \frac{1}{Z} exp (- \frac{n \cdot h f}{k T})

De waarschijnlijkheid van bezetting neemt exponentieel af met een toename in energie. Temperatuur speelt in dit geval ook een belangrijke rol: hoge energietoestanden zijn waarschijnlijker bezet bij hogere temperaturen.

De grootheid $Z$ in de noemer van de bezettingskans is de zogenaamde toestandsom:

Z = \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- \frac{n \cdot h f}{k T})

De som van de toestand is te beschrijven als een meetkundige reeks. Het resultaat is:

Z = \frac{1}{1 - exp (- h f / k T)}

Bewijs ↓

Met de afkorting

q = exp (- h f / k T)

wordt $Z = \sum_{n = 0}^{\infty} q^{n}$ . Omdat $| q | < 1$ , convergeert de reeks dus:

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = lim_{k \to \infty} \sum_{n = 0}^{k} q^{n} = lim_{k \to \infty} \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} = \frac{1 - lim_{k \to \infty} q^{k + 1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - q}

$Z$ beperkt de bezettingskansen zodanig dat de som over alle energiewaarden gelijk is aan 1 (of: 100%):

\sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} = 1

De thermische gemiddelde waarde van het kwantumnummer $n$ van de holtestraling is:

⟨ n ⟩ = \sum_{n = 0}^{\infty} n p_{n} = \frac{1}{Z} \sum_{n = 0}^{\infty} n exp (- n h f / k T)

Voor een betere leesbaarheid stellen we $h f / k T = α$ , in, zodat de somuitdrukking wordt:

\sum_{n = 0}^{\infty} n exp (- n α) = - \frac{d}{d α} \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- n α)

Een conversie naar de afleiding met betrekking tot $α$ vereenvoudigt de berekening aanzienlijk, omdat de som aan het begin al aan de rechterkant is berekend. Hieruit volgt:

- \frac{d}{d α} \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- n α) = - \frac{d}{d α} (\frac{1}{1 - exp (- α)}) = \frac{exp (- α)}{{(1 - exp (- α))}^{2}}

Toepassing op de vergelijking voor $⟨ n ⟩$ geeft het resultaat voor $Z$ :

⟨ n ⟩ = \frac{exp (- h f / k T)}{1 - exp (- h f / k T)} = \frac{1}{exp (- h f / k T) - 1}

De gemiddelde thermische energie van de holtestraling is dan:

⟨ E ⟩ = ⟨ n ⟩ h f = \frac{h f}{exp (h f / k T) - 1}

Deze uitdrukking vervangt de gemiddelde kinetische energie $k T$ die aan het begin van deze pagina werd genoemd. Als we dit beschouwen voor de vergelijking van de spectrale energiedichtheid, krijgen we de stralingsvergelijking van Planck:

u_{f} = \frac{8 π f^{2}}{c^{3}} \frac{h f}{exp (h f / k T) - 1}

Overgang naar klassieke fysica ↓

Voor zeer hoge temperaturen, namelijk voor $k T ≫ h f$ :

exp (- h f / k T) \approx exp (0) = 1

Waardoor $Z \approx 1$ en $p_{n} \approx 1$ , het quantumgetal $n$ aan relevantie verliest.

De reeksontwikkeling van de exponentiële functie met negatieve exponent in de vergelijking van Planck kan worden doorgeknipt na de tweede term:

\begin{array}{l} exp (h f / k T) = 1 + h f / k T + \frac{{(h f / k T)}^{2}}{2!} + ... \\ \approx 1 + h f / k T \end{array}

Toepassing op de vergelijking voor $⟨ E ⟩$ geeft de waarde $k T$ . Toepassing op de energiedichtheid na Planck levert de Rayleigh-Jeans stralingswet op. Dit wordt het klassieke grensgeval van de kwantummechanische relaties genoemd.

Inzicht in Spectra van de Aarde

Supplement 2.2: De stralingswet van Planck (2/2)

Energie van golven