Supplement 2.3: De wet van Stefan-Boltzmann (1/2)

Afleiding van de stralingswet van Planck

De energiedichtheid U

De spectrale verdeling van de energiedichtheid van het stralingsveld voor zwarte lichamen als functie van de frequentie is:

u_{f} = \frac{8 π f^{2}}{c^{3}} \frac{h f}{exp {h f / k T} - 1}

Deze wordt geïntegreerd over alle frequenties om de spectraal geïntegreerde energiedichtheid $U$ :

U = \int_{f = 0}^{\infty} u_{f} d f

wat betekent:

U = \frac{8 π h}{c^{3}} \int_{f = 0}^{\infty} \frac{f^{3}}{exp {h f / k T} - 1} d f

De integratie wordt duidelijker door een nieuwe variabele te introduceren:

h f / k T = x

Met de vervangers

f = \frac{k T}{h} x

and

d f = \frac{k T}{h} d x

men heeft:

U = \frac{8 π k^{4}}{c^{3} h^{3}} T^{4} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} d x

De integraal kan niet elementair worden opgelost. Het wordt:

\int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} d x = \frac{π^{4}}{15}

...voor wiskundigen ↓

In de functietheorie is aangetoond dat dit voortvloeit uit de Riemann zetafunctie $ς (ν)$ en de gammafunctie $Γ (ν)$ met het argument $ν = 4$ . Zie bijvoorbeeld I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products (Academic Press), in paragraaf 3.4.1.1, vergelijking 1:

\int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{ν - 1}}{e^{x} - 1} d x = Γ (ν) ς (ν) met Re ν > 1

met de Riemann zetafunctie

ς (ν) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- ν} met Re ν > 1

en de gammafunctie

Γ (ν) = (ν - 1)! met ν \in ℕ

In het bijzonder:

ς (4) = 1 + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{3^{4}} + ... = \frac{π^{4}}{90}

Γ (4) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Hieruit volgt het volgende:

U = \frac{8 π^{5} k^{4}}{15 c^{3} h^{3}} T^{4}

De specifieke emissie M

De relatie van energie en specifieke emissie van een isotroop stralingsveld (wat betekent dat geen enkele voortplantingsrichting de voorkeur heeft) luidt: