Ergänzung 2.4: Das Wiensche Verschiebungsgesetz

Wellenlängendarstellung

Die spektrale Verteilung der Energiedichte des Strahlungsfelds eines schwarzen Körpers ist:

Die Wellenlänge ${\lambda }_{max}$ des Maximums der Planckschen Strahlungskurve in Abhängigkeit von der Temperatur berechnet sich aus dem Nullsetzen der Ableitung des Strahlungsgesetzes (Extremalaufgabe). Zur besseren Übersichtlichkeit sei

Mit der neuen Variable wird das Strahlungsgesetz:

Mit der Quotientenregel wird die Ableitung:

Durch Nullsetzen und nach Kürzen findet man eine transzendente Gleichung für das Extremum $x\text{'}$:

Sie kann - wie bei den meisten transzendenten Gleichungen und im Gegensatz zu algebraischen Gleichungen - nicht exakt sondern nur näherungsweise gelöst werden.

Wie finden wir die Lösung? ↓ ↑

Zunächst formen wir die Gleichung zu

$x\text{'}=5\left(1-e^{-x\text{'}}\right)$

um. In einer Grafik wird die linke und die rechte Seite über $x\text{'}$ aufgetragen. Der Schnittpunkt der beiden Kurven kennzeichnet den gesuchten Wert von $x\text{'}$. Er liegt etwa bei 5.

Die linke und die rechte Seite der transzendenten Gleichung getrennt aufgetragen, mit dem gemeinsamen Schnittpunkt als gesuchte Lösung.
Quelle: Rainer Reuter, Universität Oldenburg

Genauer kann $x\text{'}$ auf iterativem Weg bestimmt werden. Hierfür betrachtet man Zahlenfolgen von $x{\text{'}}_{n+1}$, die sich aus vorherigen Werten $x{\text{'}}_n$ ergeben mit dem Ziel, die linke und die rechte Seite der Beziehung

$x{\text{'}}_{n+1}\approx 5\left(1-e^{-x{\text{'}}_n}\right)$

fortlaufend immer weiter einander anzunähern. So kann der wahre Wert beliebig genau ermittelt werden: $\underset{n\to \infty }{lim}x{\text{'}}_n\to x{\text{'}}_{exakt}$.

Man findet:

Mit $h=6,6\cdot {10}^{-34}\text{Js}$, $k=1,38\cdot {10}^{-23}\text{J<mo>/</mo>K}$ und $c=3\cdot {10}^8\text{m<mo>/</mo>s}$ folgt das Wiensche Verschiebungsgesetz:

Frequenzdarstellung

Auch hier kann man von dem in der linken Spalte berechneten Maximum ${\lambda }_{\text{max}}$ der Wellenlängendarstellung nicht unmittelbar mit der Beziehung $f\lambda =c$ auf das Maximum $f_{max}$ schließen. Die Grafiken der Planck-Kurven in der Wellenlängen- und der Frequenzdarstellung zeigen auch, dass ihre Maxima mit $f\lambda =c$ nicht zusammen gehören.

Die Rechnung muss daher auch in diesem Fall vom Planckschen Strahlungsgesetz in der Frequenzdarstellung ausgehen. Der Rechenweg ist ganz vergleichbar dem in der linken Spalte. Der Vollständigkeit halber sind die entsprechenden Gleichungen unten angegeben.

Die spektrale Energiedichte des schwarzen Körpers als Funktion der Frequenz ist:

Das Strahlungsgesetz mit der neuen Variablen $hf/kT=x$:

Ableitung nach der Frequenz:

Die transzendente Gleichung für die Berechnung des Extremums $x\text{'}$

mit der Lösung $x\text{'}=h{f}_{max}/kT\simeq 2,\mathrm{821...}$.

Das Wiensche Verschiebungsgesetz wird so: