Supplement 2.4: De verplaatsingswet van Wien

Golflengteweergave

De spectrale energiedichtheidsverdeling van het stralingsveld van een zwart lichaam is:

De golflengte ${\lambda }_{max}$ bij het maximum van de stralingscurve van Planck over de temperatuur kan worden berekend uit de afgeleide ervan door deze gelijk te stellen aan nul (extrema probleem). Voor een duidelijk overzicht stellen we

Met de nieuwe variabele wordt de stralingswet:

Met behulp van de quotiëntregel wordt de afgeleide:

Door gelijk te stellen aan nul en te reduceren kan een transcendentale vergelijking voor het extremum $x\text{'}$ gevonden worden:

Zoals bij de meeste transcendentale vergelijkingen en in tegenstelling tot algebraïsche vergelijkingen, kan deze niet exact worden opgelost, maar alleen bij benadering.

Hoe vinden we de oplossing? ↓ ↑

Eerst vormen we de vergelijking tot

$x\text{'}=5\left(1-e^{-x\text{'}}\right)$

In een grafiek worden de linker- en rechterkant uitgezet over $x\text{'}$. Het snijpunt van de twee curven geeft de waarde van $x\text{'}$ aan die we zoeken. Deze is ongeveer 5.

De linker- en rechterkant van de transcendentale vergelijking afzonderlijk uitgezet, met het gemeenschappelijke snijpunt als gezochte oplossing.
Bron: Rainer Reuter, Universiteit van Oldenburg, Duitsland

Meer precies kan $x\text{'}$ iteratief bepaald worden. Hiertoe beschouwt men numerieke reeksen van $x{\text{'}}_{n+1}$ die voortkomen uit eerdere waarden van $x{\text{'}}_n$ met als doel de linker- en rechterzijde van de relatie steeds dichter bij elkaar te brengen

$x{\text{'}}_{n+1}\approx 5\left(1-e^{-x{\text{'}}_n}\right)$

dichter bij elkaar te brengen. Op deze manier kan de werkelijke waarde met elke nauwkeurigheid worden bepaald:

$\underset{n\to \infty }{lim}x{\text{'}}_n\to x{\text{'}}_{true}$.

Men vindt:

Met $h=6,6\cdot {10}^{-34}\text{Js}$, $k=1,38\cdot {10}^{-23}\text{J<mo>/</mo>K}$ en $c=3\cdot {10}^8\text{m<mo>/</mo>s}$ volgt het de verplaatsingswet van Wien:

Weergave van frequentie

In dit geval is het ook niet mogelijk om het maximum $f_{max}$ af te leiden uit het maximum van de golflengtevoorstelling links ${\lambda }_{\text{max}}$ met de relatie $f\lambda =c$. De grafieken van de Planckkrommen in de golflengte- en frequentievoorstelling laten zien dat hun maxima van $f\lambda =c$ niet overeenkomen.

De berekening moet daarom ook in dit geval uitgaan van de stralingswet van Planck in de vorm van de frequentievoorstelling. Het berekeningsproces is vergelijkbaar met dat in de linkerkolom. Voor de volledigheid worden hieronder de juiste vergelijkingen gegeven.

De spectrale energiedichtheid van het zwarte lichaam als functie van de frequentie is:

De stralingswet met de nieuwe variabele $hf/kT=x$:

Differentiatie met betrekking tot frequentie:

De transcendente vergelijking voor de berekening van het extremum $x\text{'}$

met de oplossing $x\text{'}=h{f}_{max}/kT\simeq 2,\mathrm{821...}$.

De verplaatsingswet van Wien wordt dus: