Ergänzung 2.6: Differenziale und Ableitungen   (1/4)

Funktionen einer Variabler

Im Schulunterricht zur Analysis werden Funktionen

behandelt, die von einer Variablen $x$ abhängig sind. Beispiele:

Die Ableitungen nach $x$ werden symbolisch mit $y\text{'}$, mit $f\text{'}(x)$ oder auch mit $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ gekennzeichnet.

Nach der dritten Variante ist die Ableitung der Differenzialquotient zweier Größen $\text{d}y$ und $\text{d}x$. Diese Größen werden als Differenziale bezeichnet, weil sie aus endlich großen Differenzen $\Delta y=y_2-y_1$ und $\Delta x=x_2-x_1$ durch einen Grenzübergang

zu unendlich kleinen, d.h. zu infinitesimalen Differenzen werden.

Differenziale müssen nicht notwendigerweise Teile von Quotienten sein, sondern können auch alleine stehen. Beispiel:

Funktionen mehrerer Variabler

Vorgänge in der Natur sind meist von mehr als einer Umgebungsvariablen abhängig, und so trifft dies auch auf die mathematische Darstellung solcher Vorgänge zu. Ein Beispiel: die Temperatur an einem ausgewählten Ort hat an anderen Orten andere Werte und ist somit eine Funktion der Raumkoordinaten $x$, $y$ und $z$. Darüber hinaus hat sie auch zu verschiedenen Zeiten $t$ unterschiedliche Werte. Die Temperatur ist also eine Funktion von vier Variablen: $T=f(x,y,z,t)$.

Die Darstellung von Änderungen der Temperatur im Raum und in der Zeit wird im Weiteren als Beispiel diskutiert, um die Bedeutung von Differenzialen und Ableitungen auch anschaulich deutlich zu machen. Zunächst soll der Umgang mit diesen Begriffen jedoch rein formal entwickelt werden, die benutzten Größen haben also keine anschauliche Bedeutung.

Eine Funktion $z$ sei von zwei Variablen $x$ und $y$ abhängig:

Wie kann die Ableitung von $z$ gebildet werden? Wie lässt sich darstellen, dass $z$ nach $x$ oder $y$ oder auch gleichzeitig nach beiden Variablen abgeleitet wird? Man erkennt, dass die Schreibweisen $z\text{'}$ oder $f\text{'}(x,y)$ nicht helfen, da sie diese Frage offen lassen. Geeigneter ist die Schreibweise als Differenzialquotient.

 

Betrachten wir zunächst die Ableitung nach $x$:

Mit dem $\partial$-Symbol statt des $\text{d}$ wird verdeutlicht, dass die Funktion $z$ nur nach $x$ abgeleitet wird und alle $y$-Bestandteile als konstant behandelt werden. Daher wird dies als partielle Ableitung von $z$ nach $x$ bezeichnet. In gleicher Weise wird die partielle Ableitung nach $y$ geschrieben:

Manchmal werden die konstant gehaltenen Variablen auch als Index rechts unten an eine Klammer geschrieben, d.h.:

Diese Konvention wird in der Thermodynamik häufig genutzt, um zu verdeutlichen, welche Variablen als Konstanten behandelt werden sollen; meist - und so auch hier - reicht aber das $\partial$-Symbol hierfür aus.

Durch Multiplikation der partiellen Ableitungen mit den Differenzialen der zugehörigen Variablen und Summation der beiden Terme kann das Differenzial der Funktion $z$ geschrieben werden:

oder kürzer:

Oben haben wir das totale Differenzial von $z$ aufgeschrieben. Es ist offenbar nicht möglich, eine erste Ableitung der Funktion $z$ nach beiden Variablen darzustellen. Die zweite Ableitung ist einfacher anzugeben, sie schreibt sich $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$.

Eine erste Ableitung kann man formulieren, wenn die Variablen $x$ und $y$ von einem gemeinsamen Parameter $t$ abhängen. Sei:

Dann können die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $t$ berechnet werden. Berücksichtigt man diese Ableitungen in der Gleichung für das Differenzial $\text{d}z$, so folgt:

In dieser Gleichung wird $z$ nach allen Variablen abgeleitet. Den Ausdruck $\frac{\text{d}z}{\text{d}t}$ bezeichnet man daher als totale Ableitung der Funktion $z=f(x,y)$.

Die Terme $\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$ und $\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$ müssen nicht mit dem $\partial$-Symbol geschrieben werden, da $x$ und $y$ nur von $t$ und nicht von weiteren Variablen abhängen; partielle Ableitungen werden an dieser Stelle also nicht benötigt.