Ergänzung 2.6: Differenziale und Ableitungen (2/4)

Die Temperatur als Beispiel einer Funktion mehrerer Variabler

Wir haben auf der vorherigen Seite bereits festgestellt, dass Temperaturen sowohl eine Funktion der Raumkoordinaten $x$ , $y$ und $z$ und darüber hinaus auch eine Funktion der Zeit $t$ sind:

T = f (x, y, z, t)

Für das Differenzial der Temperatur gilt daher:

d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z + \frac{\partial T}{\partial t} d t

Um Gleichungen übersichtlicher schreiben zu können, fassen wir die Raumkoordinaten zum Ortsvektor

\vec{r} = (x, y, z)

zusammen. Die Temperatur ist dann:

T = f (\vec{r}, t)

Wir können auch die räumlichen Differenziale zu einem differenziellen Ortsvektor

d \vec{r} = (d x, d y, d z)

und die Ableitungen zum Vektor der räumlichen Ableitung

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

zusammenfassen; das $\nabla$ -Symbol ist der Nabla-Operator.

Das Differenzial der Temperatur schreibt sich mit diesen Vektoren:

d T = \frac{\partial T}{\partial t} d t + d \vec{r} \cdot \nabla T

wobei das Multiplikationszeichen $\cdot$ das Skalarprodukt der beiden Vektoren bezeichnet. Die räumliche Ableitung der Temperatur $\nabla T$ ist der Temperaturgradient

\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z})

Wie sind die beiden ganz äquivalenten Darstellungen für das Differenzial

d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z + \frac{\partial T}{\partial t} d t = \frac{\partial T}{\partial t} d t + d \vec{r} \cdot \nabla T

zu verstehen? Wie lässt sich praktisch damit arbeiten?

Aus einer gegebenen Verteilung $T = f (x, y, z, t) = f (\vec{r}, t)$ der Temperatur in Raum und Zeit, die etwa durch Messdaten oder durch ein numerisches Modell bekannt ist, können wir für einen ausgewählten Raumpunkt $\vec{r}' = (x', y', z')$ und Zeitpunkt $t'$ einen Temperaturwert $T (\vec{r}', t')$ berechnen.
Aus der Temperaturverteilung können wir auch die partiellen Ableitungen nach den vier Variablen
$\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}, \frac{\partial T}{\partial t}$ bzw. $\nabla T, \frac{\partial T}{\partial t}$
berechnen. Aus diesen Funktionen lassen sich für einen festgelegten Raum- und Zeitpunkt $(\vec{r}', t')$ die speziellen Werte der partiellen Ableitungen bestimmen. Diese Werte entsprechen den bei kleinen Ortsänderungen bzw. kleinen Änderung der Zeit zu erwartenden Temperaturänderungen.
Die als Faktoren auftretenden Diffenziale $d x$ , $d y$ , $d z$ bzw. $d \vec{r}$ sowie $d t$ stellen solche Orts- und Zeitänderungen dar. Sie erlauben es (in infinitesimalen Grenzen), sich vom Ort $\vec{r}$ um eine kleine Strecke $d \vec{r}$ zu entfernen, wobei die kurze Zeit $d t$ verstreicht.
Nun ist alles bekannt, um das Differenzial $d T$ , d.h. die zu erwartende Änderung der Temperatur zu bestimmen. Die Temperatur am neuen Ort und zur späteren Zeit ist dann:
$T (x' + d x, y' + d y, z' + d z, t' + d t) = T (x', y', z', t') + d T$
bzw. $T (\vec{r}' + d \vec{r}, t' + d t) = T (\vec{r}', t') + d T$

Aufgabe 4 behandelt dies mit einem Zahlenbeispiel.

Aufgabe 4: Temperatur in Raum und Zeit ↓

Die Temperatur sei durch die Funktion

T = T_{o} + a x - b x y^{2} + c y z^{2} + d z t

gegeben, mit:
$T_{o}$ =20°C
$a$ =0,3°C/m
$b$ =0,02°C/m³
$c$ =0,1°C/m³
$d$ =0,01°C/(m·s)

a) Wie ist die Temperatur am Ort $\vec{r}' = (x', y', z')$ = (10 m, 5 m, 2 m) zur Zeit $t'$ = 100 s.

b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Temperatur. Welche Werte haben sie am Ort $\vec{r}'$ zur Zeit $t'$ ?

c) Berechnen Sie die Temperaturänderung $d T$ für eine Verschiebung $d \vec{r} = (d x, d y, d z)$ = (1 m, 0,5 m, 0,5 m) um eine Zeit $d t$ = 2 s später.
(Wir behandeln die Differenziale näherungsweise als endliche Größen)

d) Welchen Wert hat die Temperatur $T (\vec{r}' + d \vec{r}, t' + d t)$ ?

Die Lösung finden Sie auf dieser Seite.

Weniger Variable: Schnappschüsse und Zeitreihen ↓

Temperaturen müssen natürlich nicht immer als Funktion von vier Variablen dargestellt werden.

Ohne die Zeit als Variable ist $T = f (\vec{r})$ . Dies entspricht einer Momentaufnahme (oder: einem Schnappschuss) der Temperaturverteilung im Raum. Betrachtet man nur zwei bzw. eine räumliche Variable, wird dies zu einer Temperatur auf einer Fläche bzw. auf einer Linie. Das Differenzial der Temperatur wird:
$d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z$
bzw. $d T = d \vec{r} \cdot (\nabla T)$ .
Ohne die räumlichen Variablen ist $T = f (t)$ . Dies entspricht einer Zeitreihe der Temperatur an einem festen Ort. Das Differenzial der Temperatur wird:
$d T = \frac{\partial T}{\partial t} d t$
Zeitreihen werden in in einer eigenen SEOS-Lerneinheit ausführlich vorgestellt.

Spektren der Erde

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