Ergänzung 3.3: Polarisation elektromagnetischer Wellen: Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen (1/2)

Neben dem Verfahren nach R. Clark Jones wurde ein weiteres Matrizenverfahren entwickelt, das nicht nicht die Feldstärkekomponenten elektromagnetischer Wellen sondern ihre Quadrate nutzt. Vier quadratische Ausdrücke beschreiben den Polarisationszustand, den Polarisationsgrad und die Intensität des Lichts. Sie gehen auf George Gabriel Stokes zurück und werden als Stokes-Parameter bezeichnet. Vergleichbar dem zweikomponentigen Jones-Vektor bilden sie den aus vier Komponenten bestehenden Stokes-Vektor. Wechselwirkungen des Lichts werden entsprechend mit 4×4-Matrizen beschrieben, die von Hans Müller eingeführt wurden und daher als Müller-Matrizen bezeichnet werden.

Intensitätskomponenten als Spaltenmatrix: Stokes-Vektoren

Wir gehen wieder vom elektrischen Feldvektor einer in Richtung x sich ausbreitenden elektromagnetischen Welle aus:

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{y} \\ E_{z} \end{matrix})

Die Feldkomponenten werden wieder als komplexe Funktionen angenommen. Ihre Quadrate berechnen sich als Produkte der komplexen Komponenten mit den konjugiert komplexen Komponenten. Stokes definierte vier quadratische Ausdrücke, die sogenannten Stokes-Parameter,

\begin{array}{l} I_{y} = E_{y} E_{y}^{*} \\ I_{z} = E_{z} E_{z}^{*} \\ U = E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*} \\ V = i (E_{y} E_{z}^{*} - E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

welche die Elemente des Stokes-Vektors bilden:

\vec{S} = (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Quadrat komplexer Größen ↓

Komplexe Größen kann man nicht "einfach so" quadrieren. Ihre Quadrate sind vielmehr als Produkt der Größe mit ihrer konjugiert komplexen Größe zu berechnen. Die konjugiert komplexe Größe wird mit dem Symbol ∗ gekennzeichnet und ergibt sich aus der kompexen Größe, wenn man dort, wo die imaginäre Einheit $i = \sqrt{- 1}$ vorkommt, das Vorzeichen wechselt. Sei

z = x + i y

eine komplexe Größe mit dem Realteil $x$ und dem Imaginärteil $y$ , dann ist die zugehörige konjugiert komplexe Größe:

z^{*} = x - i y

Das Quadrat von $z$ wird:

z z^{*} = x^{2}

wie durch Ausmultiplizieren und unter Berücksichtigung von $i^{2} = - 1$ leicht gezeigt werden kann.

Die Namen der Parameter lassen vermuten, dass $I_{y}$ und $I_{z}$ die Intensitäten der in Richtung der y- und z-Koordinaten schwingenden Anteile des Lichts sind. Die Bedeutung von $U$ und $V$ ist nicht unmittelbar ersichtlich. In der rechten Spalte werden einige Beispiele dargestellt, die verdeutlichen, welche Rolle sie haben.

Eine alternative Definition ↓

In der Literatur wird auch eine andere Definition der beiden ersten Stokes-Parameter benutzt:

\begin{array}{l} I = E_{y} E_{y}^{*} + E_{z} E_{z}^{*} = I_{y} + I_{z} \\ Q = E_{y} E_{y}^{*} - E_{z} E_{z}^{*} = I_{y} - I_{z} \\ U = E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*} \\ V = i (E_{y} E_{z}^{*} - E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

Entsprechend sind die Müller-Matrizen dann anders aufgebaut. Bei der Suche nach Matrizen in der Literatur muss dies beachtet werden.

Nehmen wir wieder ohne Beschränkung der Allgemeinheit eine ebene monochromatische Welle an,

E_{y} = E_{y, o} e^{i (k x - ω t)} E_{z} = E_{z, o} e^{i (k x - ω t + φ)}

so ergeben sich die folgenden Stokes-Parameter:

\begin{array}{l} I_{y} = E_{y,0}^{2} \\ I_{z} = E_{z,0}^{2} \\ U = 2 E_{y,0} E_{z,0} cos φ \\ V = - 2 E_{y,0} E_{z,0} sin φ \end{array}

Hieraus folgen die in der Tabelle der rechten Spalte genannten Stokes-Vektoren der wichtigsten Polarisationsarten. Die Intensität des Lichts ist zu 1 normiert. Die Bezeichnung $ℓ$ steht für lineare Polarisation mit einem Index, der den Winkel $α$ gegen die y-Achse angibt, $c$ steht für zirkulare Polarisation, und $r$ kennzeichnet unpolarisiertes (natürliches) Licht. Der Vektorpfeil über den Beispielen wurde der Übersichtlichkeit wegen weggelassen.

Stokes-Vektor	Polarisationsart
$ℓ_{0} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	Linear längs der y-Achse
$ℓ_{90} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	Linear längs der z-Achse
$ℓ_{45} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$	Linear diagonal im ersten und dritten Quadranten der y,z-Ebene
$ℓ_{135} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$	Linear diagonal im zweiten und vierten Quadranten der y,z-Ebene
$c_{r} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$	rechts zirkular
$c_{l} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$	Links zirkular
$r = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	unpolarisiert

Offensichtlich gelten die folgenden Eigenschaften:

Die Intensität des Lichts ist $I_{y} + I_{z}$

\sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + U^{2} + V^{2}} = I_{y} + I_{z} = 1

Für unpolarisiertes Licht gilt:
$I_{y} - I_{z} = U = V = 0$
Für den bereits definierten Polarisationsgrad
$p$ = (Intensität des polarisierten Anteils)/Gesamtintensität
ergibt sich damit der Ausdruck:
$p = \frac{\sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + U^{2} + V^{2}}}{I_{y} + I_{z}}$

Stokes-Vektoren nutzen Quadrate der elektrischen Feldstärke. Wegen

E E^{*} = E_{o} e^{i (k x - ω t + φ)} E_{o} e^{- i (k x - ω t + φ)} = E_{o}^{2}

geht durch das Quadrieren die Information über die Phase verloren, ebenso wie die Information zu den spektralen Eigenschaften, siehe den Abschnitt über elektromagnetische Wellen in Kapitel 1.

Stokes-Vektoren eignen sich daher nicht zur Analyse kohärenter Effekte. Andererseits kann - anders als mit den Jones-Vektoren - auch unpolarisiertes Licht beschrieben und der Polarisationsgrad teilweise polarisierten Lichts bestimmt werden.

Spektren der Erde

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Intensitätskomponenten als Spaltenmatrix: Stokes-Vektoren