Ergänzung 3.6: Ein Experiment zur Lichtstreuung des Wassers

Lichtstreuung an Wasser, ein Beispiel für Rayleigh-Streuung

Der Absorptionskoeffizient des flüssigen Wassers ist bei allen sichtbaren Wellenlängen kleiner als 1/m. Im blauen Bereich ist Wasser besonders durchsichtig, dort ist der Absorptionskoeffizient etwa 0,02/m.

Der Streukoeffizient des Wassers ist im blauen Bereich noch einmal etwa einen Faktor 10 kleiner. Dies liegt an der verglichen mit der Lichtwellenlänge geringen Größe des Moleküls: sein Durchmesser ist etwa 2 Å oder 2·10^-10 m (das Ångström, mit dem Einheitenzeichen Å, ist eine in der Atomphysik gebräuchliche Längeneinheit). Wassermoleküle sind daher ein Beispiel für Teilchen, die durch Rayleigh-Streuung charakterisiert sind.

Wir untersuchen hier, wie eine Wasserprobe das Licht eines Lasers streut.

Die experimentelle Anordnung

Eine wassergefüllte Küvette wird mit einem blaugrünen Laserstrahl beleuchtet. Die Wellenlänge ist 500 nm, die Strahlungsleistung ist 1 W (falls Sie den Versuch experimentell nachvollziehen möchten: der Laser wäre keineswegs augensicher, bitte äußerste Vorsicht!).

Unter 90° gegen die Richtung des Laserstrahls beobachten wir zunächst mit dem Auge das am Wasser entstehende Streulicht. Das beleuchtete und sichtbare Wasservolumen sei V = 1 cm³ groß.

Experimentelle Anordnung für die Messung der Lichtstreuung an einer Wasserprobe.
Quelle: Rainer Reuter, Universität Oldenburg.

Dann bringen wir für eine quantitative Messung in r = 1 m Abstand von der Küvette und ebenfalls unter 90° eine Fotodiode an. Der Durchmesser der fotoempfindlichen Fläche sei d = 1 cm. Bei 500 nm sei die Empfindlichkeit der Fotodiode, d.h. der von einer optischen Leistung (in Watt) erzeugte Fotostrom (in Ampere) der Diode, zu S = 0,5 A/W angenommen.

Streueigenschaften des Wassers

Sehr kleine Teilchen streuen das Licht symmetrisch in den vorderen und hinteren Halbraum, für die Rayleigh-Streuung kleiner Teilchen ist dies charakteristisch. Bezeichnet man den zur Richtung des Laserstrahls gemessenen Streuwinkel mit θ, so ist die Streufunktion für unpolarisiertes Licht durch die folgende Gleichung gegeben:

β (θ) = β (90 °) (1 + {cos}^{2} θ)

Polardiagramm der Phasenfunktion über den Winkel θ für Teilchen mit dem Durchmesser 1 Å, mit der Brechzahl n = 1,33 und für Licht der Wellenlänge 500 nm. Die Phasenfunktion ist gleich der Streufunktion β geteilt durch den Streukoeffizienten b. Wir werden den Wert von b in der rechten Spalte berechnen.
Erstellt mit MieSimulatorGUI, Version 1.3, letzter Zugriff: 30.03.2023.

Der Literaturwert der Streufunktion für den Streuwinkel 90° bei der Wellenlänge 500 nm ist (Zhang & Hu, 2021):

β (90 °) = 1,38 \cdot 10^{- 4} \frac{1}{m sr}

Die Molmasse des Wassers ist etwa 18 g, entsprechend ist das Molvolumen etwa 18 cm³. Die Teilchenzahl im Mol wird durch die Avogadro-Konstante 6·10²³ gegeben. Die in 1 m³ enthaltene Zahl der Wassermoleküle wird dann:

N = \frac{6 \cdot 10^{23}}{18 \cdot 10^{- 6} m^{3}} = 3,3 \cdot 10^{28} \frac{1}{m^{3}}

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt der Streuung bei 90° ergibt sich zu:

σ (90 °) = \frac{β (90 °)}{N} = 4,14 \cdot 10^{- 33} \frac{m^{2}}{sr}

Die Helligkeit am Auge

Die Intensität des Streulichts folgt aus den Werten der Streufunktion β des Wassers und der Bestrahlungsstärke E des Lasers am beleuchteten Wasservolumen V entsprechend

I = β E V

mit E = 1 W/cm² und V = 1 cm³. Die optische Leistung am Auge oder Detektor ergibt sich aus dieser Intensität multipliziert mit dem Raumwinkel Ω, unter dem vom streuenden Wasser aus gesehen das Auge bzw. der Detektor erscheint:

P = I (90 °) Ω = β (90 °) E V \frac{π d^{2} / 4}{r^{2}}

Das Einsetzen aller Werte liefert die optische Leistung P ≈ 10^-10 W oder 0,1 Nanowatt. Kann das Auge dies noch sehen?

Um dies abzuschätzen ist es zweckmäßig, zum Photonenbild des Lichts überzugehen. Ein dunkel adaptiertes Auge kann etwa jedes 50ste auf die Netzhaut auffallende Photon als schwachen Lichtblitz wahrnehmen. Bei monochromatischem Licht gilt für den Zusammenhang zwischen optischer Leistung und der entsprechenden Photonenzahl:

P = N_{P h o t o n} E_{P h o t o n}

mit N_Photon Zahl der Photonen pro Sekunde, und der Photonenenergie E_Photon = hc/λ, wobei h das Plancksche Wirkungsquantum und c die Lichtgeschwindigkeit bedeuten. Dies ergibt N_Photon ≈ 250· 10⁶ oder 250 Millionen Photonen pro Sekunde.

Das Signal des Detektors

Der Fotostrom der Fotodiode ergibt sich aus der auffallenden optischen Leistung und aus seiner Empfindlichkeit, die oben zu S = 0,5 A/W angenommen worden ist. Es wird:

I_{p h o t o} = S P = 0,5 \cdot 10^{- 10} A

oder 50 Pikoampere. Elektrische Multimeter reichen bestenfalls bis in den Bereich Mikroampere, man benötigt daher ein sehr viel empfindlicheres Strommessgerät. Solche Geräte werden als Pikoamperemeter bezeichnet.

Der Streukoeffizient

Wird die Streufunktion über den ganzen Raum integriert, so resultiert der Streukoeffizient:

\begin{array}{l} b = \int_{Ω = 4 π} β d Ω = 2 π \int_{θ = 0}^{π} β (θ) sin θ d θ \\ = 2 π β (90 °) \int_{θ = 0}^{π} (1 + {cos}^{2} θ) sin θ d θ = 16 \frac{π}{3} β (90 °) \end{array}

Einsetzen ergibt: $b = 2,3 \cdot 10^{- 3} /m$

Über 1 m Strecke verliert der Laserstrahl durch Streuung demnach 2,3 Promille seiner Helligkeit. Die Abnahme der Helligkeit in der nur einen Zentimeter langen Küvette unseres Experiments ist praktisch zu vernachlässigen.

Der totale (über den ganzen Raum integrierte) Wirkungsquerschnitt der Streuung wird:

σ = \frac{b}{N} = 7 \cdot 10^{- 32} m^{2}

verglichen mit ihrer geometrischen Querschnittsfläche schatten die Moleküle somit nur einen sehr kleinen Teil der Helligkeit des Laserstahls ab.

Tatsächlich gibt es bei der Lichtstreuung des Wassers einige zusätzliche Einflussgrößen. Temperatur, Druck und - im Fall von Meerwasser - der Salzgehalt spielen eine Rolle. Und in der Flüssigkeit treten Dichtefluktuationen auf, die ebenfalls zur Streuung beitragen. Die Veröffentlichung von Zhang & Hu, 2021 gibt hierzu ausführlich Auskunft.