Ergänzung 7.1: Die hydrographische Lidar-Gleichung (2/3)

Sonderfälle

Auf der vorherigen Seite haben wir die folgende Beziehung für das Signal aus einer Schicht zwischen den Tiefen zwischen z₁ und z₂ gefunden:

P_{z_{1} \to z_{2}} \propto exp (- \int_{0}^{z_{1}} c d z) \cdot \frac{η}{c} (\frac{1}{{(z_{1} + n H)}^{2}} - \frac{exp - (c (z_{2} - z_{1}))}{{(z_{2} + n H)}^{2}})

Homogene, optisch dicke Medien

Der Attenuationskoeffizient c und die Signalausbeute η eines homogenen Mediums (eine tiefe Wassersäule, eine dicke Ölschicht oder eine andere Substanz) sind konstant und insbesondere tiefenunabhängig.

Als optische Tiefe bezeichnet man eine Strecke, die dem inversen Attenuationskoeffizienten entspricht: $z = 1 / c$ . Einsetzen in das Lambertsche Extinktionsgesetz $P (z) = P_{o} exp (- c z)$ zeigt, dass sie die Tiefe angibt, in der die Lichtintensität auf den Bruchteil exp(-1)=0,36 oder auf 36% des Werts an der Oberfläche abgefallen ist.

Ein optisch dickes Medium ist viele optische Tiefen dick. Angewandt auf den unteren Rand einer Tiefenschicht zwischen z₁ und z₂ bedeutet dies: $z_{2} » 1 / c$ oder $c z_{2} \to \infty$ .

Mit $z_{1} = 0$ und $c z_{2} \to \infty$ folgt aus der oben angegebenen Beziehung für ein homogenes, optisch dickes Medium:

P \propto \frac{η}{{(n H)}^{2} c}

Dies ist das Integral der hydrographischen Lidar-Gleichung von der Oberfläche bis zu einer Tiefe, aus der keine Signalintensität mehr gemessen werden kann. Solche Signale werden mit einem nicht zeitauflösenden Laserfluorosensor gemessen, bzw. mit einem Lidar, dessen Signale zeitlich integriert werden. Abgesehen von der Flughöhe H und anderen (hier nicht weiter genannten und durch die Proportionalität gegebenen) apparativen Größen enthält sie ausschließlich das Verhältnis der Signalausbeute zum Attenuationskoeffizienten.