Supplément 1.1: Equations de Maxwell

Nous considérons les vecteurs du champ électrique $\vec{E}$ et le champ magnétique $\vec{B}$ en présence d'une densité de charge électrique ρ et d'une densité de courant $\vec{j}$ . Les propriétés électriques et magnétiques de la matière sont données par la permittivité électrique ε et la perméabilité magnétique μ. C'est ε=ε_oε_r et μ=μ_oμ_r, avec la permittivité relative ε_r et la perméabilité relative μ_r du matériau, et où ε_o et μ_o sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide.

Unités de grandeurs, valeurs de constantes ↓

Nous notons les unités de ces grandeurs ainsi que les valeurs de la constante diélectrique et de la constante de champ magnétique. Nous en aurons souvent besoin par la suite.

[\vec{E}] = \frac{N}{C} = \frac{V}{m}

[\vec{B}] = \frac{N}{C m/s} = Tesla

[ρ] = \frac{C}{m^{3}}

[\vec{j}] = \frac{A}{m^{2}}

ε_{o} = 8,854 \cdot 10^{- 12} \frac{A s}{V m}

μ_{o} = 1,26 \cdot 10^{- 6} \frac{V s}{A m}

Les propriétés du matériau $ε_{r}$ et $μ_{r}$ sont sans dimension ; dans le vide, leurs valeurs sont égales à 1.

Les équations de Maxwell combinent toutes ces quantités en un système de quatre équations intégrales ou différentielles. Une compréhension intuitive est souvent plus facile avec les équations intégrales, et c'est pourquoi les formes intégrales sont plus souvent utilisées dans les cours de physique. Les équations différentielles sont données ici :

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε}

\nabla \cdot \vec{B} = 0

c'est-à-dire que la charge électrique est la source d'un champ électrique, alors que les charges magnétiques n'existent pas.

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

\nabla \times \vec{B} = μ \vec{j} + ε μ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Un champ magnétique variable dans le temps provoque une courbure du champ électrique, et un champ électrique variable dans le temps ou un courant électrique provoque une courbure du champ magnétique.

Equations de Maxwell sous forme intégrale ↓

Équations ↓

Les termes ∇⋅ et ∇× désignent la divergence et le rotationnel du vecteur qui suit. Il s'agit de dérivées spatiales de vecteurs, utilisant l'opérateur nabla (∇) qui est également un vecteur. Les symboles "⋅" et "×" désignent le produit de points et le produit en croix de deux vecteurs. Par exemple, en coordonnées cartésiennes (x,y,z) l'opérateur nabla et le champ électrique E read:se lisent :

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

\vec{E} = (E_{x}, E_{y}, E_{z})

Alors la divergence et le rotationnel de $\vec{E}$ are:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}

\nabla \times \vec{E} = (\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}, \frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{x}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial x})

Si vous n'êtes pas familiarisé avec ces opérations, nous vous renvoyons aux manuels de calcul vectoriel, par exemple, Murray R. Spiegel, 1959: Schaum's Outline of Vector Analysis (McGraw Hill) 225 pp.

Question 1: Divergence et rotationnel d'un vecteur ↓

Veuillez montrer que les équations données ci-dessus pour la divergence $\nabla \cdot \vec{E}$ et le rotationnel $\nabla \times \vec{E}$ du vecteur champ électrique sont correctes. Ces termes sont-ils des quantités scalaires ou des vecteurs ?

Vérifiez vos résultats sur cette page !

Question 2: Gradient d'une quantité scalaire ↓

Pour être complet, l'opérateur ∇ peut être appliqué à des quantités scalaires. Soit $φ (x, y, z)$ une fonction scalaire dans l'espace, par exemple le potentiel électrique. Le terme ∇φ désigne alors la dérivée spatiale de φ, également appelée grad φ. ∇φ est un vecteur puisque le vecteur ∇ est multiplié par le scalaire φ.

Veuillez écrire ∇φ en composantes le long des directions x, y, et z.

Vérifiez votre résultat sur cette page !

Le spectre de la Terre

Supplément 1.1: Equations de Maxwell