5. Exercises

1. Lumière et rayonnement

Ondes électromagnétiques (2/4)

Question: Temps nécéssaire à la lumière solaire et au clair de lune pour atteindre la Terre

a) La distance entre le soleil et la Terre est approximativement de 150·10⁶ km. Combien de temps (en secondes et en minutes) faut-il à la lumière émise par le soleil pour atteindre la Terre ?

b) La distance entre la lune et la Terre est nettement plus courte: 384 000 km. Combien de temps faut-il à la lumière soleire réfléchie par la lune por atteindre la Terre ?

Réponse :

a) Le temps nécessaire à la lumière du soleil pour atteindre la terre est de

t = \frac{x}{c} = \frac{150 \cdot 10^{9} m}{0,3 \cdot 10^{9} m/s} = 500 s

ou 8,33 minutes.

b) Pour la lumière de la lune, il est de

t = \frac{x}{c} = \frac{0,384 \cdot 10^{9} m}{0,3 \cdot 10^{9} m/s} = 1,28 s

Question : L'année lumière et la distance à Alpha du Centaure

L'étoile la plus proche du Soleil s'appelle Alpha du Centaure. Sa distance est estimée à 4,247 années lumière. Une année lumière est la distance parcourue par la lumière en un an, une unité de longueur très souvent utilisée en astronomie. À combien de kilomètres correspond une année lumière ? À quelle distance en kilomètres se trouve Alpha du Centaure ? Vous constaterez que les années lumière sont une unité de longueur très pratique pour ne pas rendre les indications de distance des corps célestes lointains trop difficiles à gérer !

Réponse :

Une année lumière correspond au produit de la vitesse de la lumière par le temps 1 an, c'est-à-dire le temps 365 jours avec 24 heures, 60 minutes et 60 secondes chacun, soit 31,536·10⁶ secondes.

0,3 \cdot 10^{9} m / s \cdot 31,536 \cdot 10^{6} s = 9,461 \cdot 10^{15} m

soit 9,461·10¹² km ou environ 9,5 billions de kilomètres. La distance de 4,247 années lumière d'Alpha du Centaure correspond à environ 40 000 billions de kilomètres.

Ondes électromagnétiques (4/4)

Fiche de travail: Lumière et rayonnement

Veuillez vérifier et approfondir vos connaissances sur le thème de ce chapitre à l'aide de la fiche de travail Lumière et rayonnement. Elle peut également être utilisée comme devoir de présence en classe ou comme devoir à domicile.

Photons (4/4)

Tâche : Un éclair de 1000 photons

Dans la nuit noire, nous voyons au loin le flash d'un appareil photo. Nous supposons que 1000 photons de l'éclair traversent la pupille de notre œil pour atteindre la rétine, un flash lumineux vraiment très faible. Dans la colonne de gauche ci-dessous, on peut lire qu'un œil adapté à l'obscurité peut tout juste percevoir cet éclair.

Le diamètre de la pupille est de 4 mm. La longueur d'onde de la lumière est de 500 nm (en réalité, la lumière d'un éclair est blanche). La durée de l'éclair est de 1 ms, ce qui correspond à la durée d'éclairage des flashes photo.

a) Calculez l'énergie d'un seul photon en électron-volt et celle de l'éclair composé de 1000 photons en joule.

b) Que les photons soient répartis uniformément sur la durée de l'éclair. Quelle est la puissance instantanée qui traverse la pupille ?

c) Quelle est l'irradiance en W/m² de l'éclair à notre emplacement ?

Solutions :

a) L'énergie d'un photon est :

\begin{array}{l} E = h f = \frac{h c}{λ} \\ ​ ​ ​ = \frac{6,6 \cdot 10^{- 34} Js \cdot 3,0 \cdot 10^{8} m / s}{500 \cdot 10^{-9} m} = 0,4 \cdot 10^{- 18} J \end{array}

1 J correspond à 1,6·10^-19 eV. Il devient : E = 2,48 eV. Comparez le résultat avec le graphique de la page Photons (3/4).

L'énergie totale des 1000 photons de l'éclair dans l'œil est de 0,4·10^-15 J ou 0,4 fJ. (10^-15 = 1 milliardième de billard = 1 femto, abréviation f)

b) L'énergie de l'éclair se produit en une milliseconde. La puissance à travers la pupille pendant la durée de l'éclair est :

P = \frac{0,4 \cdot 10^{- 15} J}{10^{- 3} s} = 0,4 \cdot 10^{- 12} W

ou 0,4 pW. (10^-12 = 1 billionième = 1 pico, abréviation p)
Il est difficile de croire que l'œil puisse voir de tels éclairs !

c) Le rayon de la pupille est r = 2 mm. La puissance qui la traverse est de 0,4·10^-12 W. L'irradiance est donc :

\frac{P}{π r^{2}} = 32 \cdot 10^{- 9} \frac{W}{m^{2}}

ou 32 nW/m². À titre de comparaison, par ciel dégagé, l'irradiance au sol lors de la pleine lune est d'environ 3 mW/m², le soleil au zénith rayonne à environ 1 kW/m².

Analyse spectrale: Filtres en verre coloré (4/4)

Exercice : Réflexions

Comparez les images en noir et blanc des bandes 1 à 4 avec l'image en fausses couleurs.

Évaluez les réflectances des surfaces terrestres végétalisées et non végétalisées et de l'eau de mer en fonction de leur luminosité.
Consultez le tableau des bandes TM à la page précédente. Pouvez-vous confirmer les descriptions des caractéristiques?
Étudiez vos résultats en les comparant aux informations contenues dans les pages SEOS sur

les caractéristiques spectroscopiques de la végétation dans le tutoriel Télédétection et SIG en agriculture
les caractéristiques spectroscopiques de l'eau de mer dans le tutoriel Ocean Colour in the Coastal Zone
classification des images satellites dans le tutoriel Méthodes et Algorithmes de Classification

Aucune réponse n'est proposée pour cette exercise.

Supplément 1.1: Equations de Maxwell

Question 1 : Divergence et rotationnel d'un vecteur

Veuillez montrer que les équations données ci-dessus pour la divergence $\nabla \cdot \vec{E}$ et le rotationnel $\nabla \times \vec{E}$ du vecteur champ électrique sont correctes. Ces termes sont-ils des quantités scalaires ou des vecteurs ?

Réponses:

\nabla \cdot \vec{E} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (E_{x}, E_{y}, E_{z}) = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}

est un scalaire,

\begin{matrix} \nabla \times \vec{E} = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{matrix} | \\ = (\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}, \frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y}) \end{matrix}

est un vecteur. $i$ , $j$ et $k$ sont les vecteurs unitaires dans la direction des coordonnées $x$ , $y$ et $z$ coordonnées.

Question 2: Gradient d'une quantité scalaire

Pour être complet, l'opérateur ∇ peut être appliqué à des quantités scalaires. Soit $φ (x, y, z)$ une fonction scalaire dans l'espace, par exemple le potentiel électrique. Le terme ∇φ désigne alors la dérivée spatiale de φ, également appelée grad φ. ∇φ est un vecteur puisque le vecteur ∇ est multiplié par le scalaire φ.

Veuillez écrire ∇φ en composantes le long des directions x, y, et z.

Réponse:

\nabla φ = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) φ = (\frac{\partial φ}{\partial x}, \frac{\partial φ}{\partial y}, \frac{\partial φ}{\partial z})

Supplément 1.2: Equations de Maxwell

Question 1 : L'opérateur de Laplace

En coordonnées cartésiennes, l'opérateur nabla

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

est la dérivée spatiale de premier ordre. Le produit scalaire $\nabla \cdot \nabla = Δ$ est alors la dérivée spatiale de second ordre, l'opérateur de Laplace.

a) Veuillez montrer que l'opérateur de Laplace en coordonnées cartésiennes est :

Δ = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

b) Veuillez écrire l'équation d'onde du champ électrique dans ses composantes en coordonnées cartésiennes.

Réponses:

a) $\nabla \cdot \nabla = Δ = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial x}) \cdot (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial x}) = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$

b) Pour le champ électrique $\vec{E} = (E_{x}, E_{y}, E_{z})$ d'une onde dans une direction quelconque, la composante x :

\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}} = ε_{o} μ_{o} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}}

et de manière correspondante pour les composantes y et z ainsi que pour les composantes du champ magnétique.

Question 2: Troisième équation de Maxwell en composantes cartésiennes

Veuillez montrer par le calcul que les vecteurs de champ

\vec{E} = (0, E_{y}, E_{z})

\vec{B} = (0, B_{y}, B_{z})

appliqués à la troisième équation de Maxwell donnent les composantes :

\frac{\partial B_{x}}{\partial t} = 0

\frac{\partial B_{y}}{\partial t} = \frac{\partial E_{z}}{\partial x}

\frac{\partial B_{z}}{\partial t} = - \frac{\partial E_{y}}{\partial x}

Réponse:

La troisième équation de Maxwell

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

mit

\vec{E} = (0, E_{y}, E_{z})

\vec{B} = (0, B_{y}, B_{z})

En composants :

((\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}), - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x}) = - (0, \frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \frac{\partial B_{z}}{\partial t})

C'est de là que découle l'affirmation.

Supplément 1.4:
Densité d'énergie et intensité des ondes électromagnétiques

Question 1: Champ électrique et magnétique du rayonnement solaire

Au chapitre 2 Rayonnement thermique, on montre que l'irradiance du rayonnement solaire au bord extérieur de l'atmosphère terrestre a une valeur de 1361 W/m², ce qui est appelé la constante solaire. Veuillez calculer l'intensité de champ électrique et magnétique de ce rayonnement.

Réponse :

⟨ S ⟩ = E_{r a d} = \frac{c ε}{2} E_{o}^{2} = \frac{c}{2 μ} B_{o}^{2} = 1361 \frac{W}{m^{2}}

Avec $c = 3 \cdot 10^{8} m / s$ , $ε_{o} = 8,854 \cdot 10^{- 12} \frac{A s}{V m}$ et $μ_{o} = 1,26 \cdot 10^{- 6} \frac{V s}{A m}$ suit:

E_{o} = 1013 V / m

B_{o} = 3,38 \cdot 10^{- 6} \frac{N}{C m / s} = 3,38 \cdot 10^{- 6} Tesla

Le champ électrique est très fort, le champ magnétique assez faible. La cause est - comme montré dans le suppplément - la relation $E = c B$ . Cependant, les énergies de champ du champ électrique et du champ magnétique sont égales.

On calcule ici l'amplitude d'une onde monochromatique plane, ce qui n'est pas le cas pour le rayonnement solaire avec son large spectre ; les valeurs numériques du résultat sont néanmoins valables.