We bekijken de vectoren van het elektrisch veld
en het magnetisch veld
in aanwezigheid van een elektrische ladingsdichtheid ρ en stroomdichtheid
.De eigenschappen van elektrische en magnetische materie worden gegeven door de diëlektrische constante ε
en de magnetische doorlatendheid μ. Het is ε=εoεr
en μ=μoμr, met de relatieve diëlektrische constante εr
en relatieve doorlatendheid μr van het materiaal en waarbij εo en
μo respectievelijk de diëlektrische
constante in vacuüm en de doorlatendheid in vacuüm zijn.
Eenheden van grootheden, waarden van constanten
↓
↑
We noteren de eenheden van deze grootheden en de waarden van de diëlektrische constante en de
magnetische veldconstante. Dit zal later vaker nodig zijn.
De materiaaleigenschappen en
zijn dimensieloos; in vacuüm zijn
hun waarden gelijk aan 1.
De vergelijkingen van Maxwell combineren al deze grootheden in een systeem van vier
integraalvergelijkingen of differentiaalvergelijkingen.
Intuïtief inzicht is vaak gemakkelijker met de integraalvergelijkingen en dit is waarom
de integrale vormen vaker in de natuurkundeles gebruikt worden.
De differentiaalvergelijkingen worden hier opgegeven:
d.w.z. de elektrische lading is de bron van een elektrisch veld, terwijl er geen magnetische ladingen zijn; en
Een in tijd variërend magnetisch veld veroorzaakt een kromming van het elektrisch
veld en een in tijd variërend elektrisch veld of een elektrische stroom veroorzaakt een kromming van het magnetisch veld.
De vergelijkingen van Maxwell in integrale vorm
↓
↑
Gelieve je fysicaleerboek te raadplegen voor de integraalvormen van deze vergelijkingen.
De integraalvormen worden de wetten van Gauss genoemd (één voor het elektrisch veld, een andere voor het magnetisch veld),
de wet van Faraday en de wet van Ampère.
Vergelijk de hier gegeven differentiaalvormen met de integraalvergelijkingen;
welke differentiaal- en integraalvormen zijn gelijkwaardig aan elkaar?
Indien je er dieper op wilt ingaan: het verband tussen de differentiaal- en integraalvormen wordt
vastgesteld via de formule van Gauss en de formule van Stokes.
Je zult ze in de hierna genoemde literatuur en in andere leerboeken over vectoralgebra vinden.
Het toepassen van de formules van Gauss en Stokes op de integraalvormen van de vergelijkingen van
Maxwell laat toe de differentiaalvormen ervan af te leiden.
De termen ∇⋅ en ∇× duiden de divergentie en de "kromming" aan van de vector die volgt.
Deze zijn ruimtelijke afgeleiden van vectoren met behulp van de nabla'operator (∇)
die ook een vector is.
De symbolen "⋅" en "×" duiden het puntproduct en het kruisproduct van twee vectoren aan.
Bijvoorbeeld in cartesiaanse (x,y,z) coördinaten luiden de nabla-operator en het elektrisch veld E:
Dan zijn de divergentie en de kromming van :
We verwijzen naar leerboeken over vectoralgebra als je met deze bewerkingen niet vertrouwd bent,
bv., Murray R. Spiegel, 1959: Schaum's Outline of Vector Analysis (McGraw Hill) 225 pp.
Vraag 1: Divergentie en kromming van een vector
↓
↑
Toon aan dat de hierboven opgegeven vergelijkingen voor de divergentie
en de kromming
van de vector van het elektrisch veld correct zijn. Zijn deze termen scalaire grootheden of vectoren?
Controleer je resultaten op deze pagina!
Vraag 2: Gradiënt van een scalaire grootheid
↓
↑
Om volledig te zijn kan de ∇-operator verder toegepast worden met scalaire grootheden. Laat
een scalaire functie in de ruimte zijn, bv. het elektrisch potentiaal.
De term ∇φ geeft dan de ruimtelijke afgeleide van φ, ook wel grad φ genoemd.
∇φ is een vector aangezien vector ∇ vermenigvuldigd wordt met de scalair φ.
Gelieve ∇φ in componenten in de x-, y-, en z-richtingen te schrijven.
Controleer je resultat op deze pagina!
