Ergänzung 1.2: Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellen    (3/3)

Ebene monochromatische Wellen     

Wellen, die sich in beliebige Richtungen a → ausbreiten, lassen sich aufschreiben, wenn man die Wellenzahl k durch einen Vektor ersetzt, der in Ausbreitungsrichtung weist, k a → . Dies ist der Wellenvektor k → , mit | k → |= k=2π /λ .

Das elektrische und magnetische Feld von Wellen, die in Richtung des Wellenvektors k →  fortschreiten, ist dann:

E → ( r → ,t)= E → o sin( k → ⋅ r → −ωt )          B → ( r → ,t)= B → o sin( k → ⋅ r → −ωt )

Wie hängen nun E → und B → voneinander ab? Dies folgt aus der dritten und vierten Maxwell-Gleichung. Beispielsweise ist die dritte Gleichung:

∇× E → =− ∂ B → ∂t

Die Ausbreitung soll in Richtung x sein. Da dann die Feldvektoren senkrecht zu x orientiert sind, reduzieren sich die Felder in karthesischen Koordinaten auf:

E → =( 0, E y , E z )            B → =( 0, B y , B z )

Mit diesen Vektoren wird aus der dritten Maxwell-Gleichung:

y-Komponente:            ∂ E z ∂x = ∂ B y ∂t
z-Komponente:            ∂ E y ∂x =− ∂ B z ∂t

(die x-Komponenten verschwinden wegen Bx=0).

Aufgabe 2: Die dritte Maxwell-Gleichung in kartesischen Koordinaten ↓

 

Um die y-Komponente zu lösen, wählen wir ein sinusförmiges elektrisches Feld Ez:

E z = E z,o sin( kx−ωt )

Mit der partiellen Ableitung nach x, ∂ E z ∂x , folgt für die y-Komponente des Magnetfelds:

B y =∫ ∂ E z ∂x dt =− k ω E z

In gleicher Weise erhält man durch Lösen der z-Komponente der Maxwell-Gleichung:

B z = k ω E y

Beide Komponentengleichungen können als eine Vektorgleichung geschrieben werden:

B → = k ω a → × E →

wobei a → wiederum ein Einheitsvektor in Richtung der Wellenausbreitung ist. Die Beziehungen beweisen, dass

  • E → und B → und die Ausbreitungsrichtung der Welle orthogonal zueinander stehen (was weiter oben schon gezeigt worden ist), und
  • E → und B → in jedem Raumpunkt den gleichen Phasenwert (z.B. Nulldurchgang, Maximum...) aufweisen, wie es die Abbildung in Kapitel 1, Abschnitt elektromagnetische Wellen zeigt.