5. Übungen

1. Licht und Strahlung

Elektromagnetische Wellen (2/4)

Aufgabe: Laufzeit des Sonnenlichts und Mondlichts bis zur Erde

a) Der Abstand der Erde von der Sonne ist etwa 150·106 km. Wie viel Zeit (in Sekunden und in Minuten) dauert es, bis das von der Sonne ausgesandte Licht die Erde erreicht?

b) Der Mond ist von der Erde 384 000 km entfernt, also viel näher als die Sonne. Wie viel Zeit verstreicht, bis das vom Mond reflektierte Sonnenlicht die Erde erreicht?

Lösungen:

a) Die Zeit von der Sonne zur Erde beträgt

t= x c = 150⋅ 10 9 m 0,3⋅ 10 9 m/s =500 s

oder 8,33 Minuten.

b) Für die Zeit vom Mond zur Erde gilt

t= x c = 0,384⋅ 10 9 m 0,3⋅ 10 9 m/s =1,28 s

Aufgabe: Das Lichtjahr und die Entfernung zu Alpha Centauri

Der sonnennächste Stern hat den Namen Alpha Centauri. Seine Entfernung wird mit 4,247 Lichtjahren angegeben. Ein Lichtjahr ist die Strecke, welche das Licht in einem Jahr zurücklegt, eine in der Astronomie sehr oft genutzte Längeneinheit. Wie vielen Kilometern entspricht ein Lichtjahr? Wie weit in Kilometern ist Alpha Centauri entfernt? Sie werden feststellen, dass Lichtjahre eine sehr praktische Längeneinheit sind, um Entfernungsangaben zu fernen Himmelskörpern nicht zu unhandlich werden zu lassen!

Lösung:

Ein Lichtjahr entspricht dem Produkt aus Lichtgeschwindigkeit und der Zeit 1 Jahr, d.h. der Zeit 365 Tage mit jeweils 24 Stunden, 60 Minuten und 60 Sekunden, d.h. aus 31,536·106 Sekunden.

0,3⋅ 10 9 m/s ⋅ 31,536⋅ 10 6 s=9,461⋅ 10 15 m

oder 9,461·1012 km oder ca. 9,5 Billionen Kilometer. Die Distanz 4,247 Lichtjahre zu Alpha Centauri entspricht ca. 40 Billionen Kilometer.


Electromagnetische Wellen (4/4)

Arbeitsblatt: Licht und Strahlung

Bitte prüfen und vertiefen Sie Ihre Kenntnisse zum Thema dieses Kapitels mit dem Arbeitsblatt Licht und Strahlung. Es kann auch als Präsenz- oder Hausaufgabe im Unterricht verwendet werden.


Photonen (4/4)

Aufgabe: Ein Blitz aus 1000 Photonen

In dunkler Nacht sehen wir weit entfernt das Blitzlicht eines Fotoapparats aufblitzen. Wir nehmen an, durch die Pupille unseres Auges treten 1000 Photonen des Blitzes auf die Netzhaut, ein wirklich sehr schwacher Lichtblitz. In der linken Spalte unten steht, dass ein dunkeladaptiertes Auge diesen Blitz wohl gerade noch schwach wahrnehmen kann.

Der Durchmesser der Pupille sei 4 mm. Die Lichtwellenlänge sei 500 nm (tatsächlich ist ein Blitzlicht weiß). Die Blitzdauer ist 1 ms, dies entspricht der Leuchtdauer von Fotoblitzen.

a) Berechnen Sie die Energie eines einzelnen Photons in Elektronenvolt und des aus 1000 Photonen bestehenden Blitzes in Joule.

b) Die Photonen seien gleichmäßig über die Blitzdauer verteilt. Welche momentane Leistung tritt durch die Pupille?

c) Welche Bestrahlungsstärke in W/m2 zeigt der Blitz an unserem Standort?

Lösungen:

a) Die Energie eines Photons ist:

E=hf= hc λ ​     ​​= 6,6⋅ 10 −34 Js⋅3,0⋅ 10 8 m/s 500⋅ 10 -9 m =0,4⋅ 10 −18 J

1 J entspricht 1,6·10-19 eV. Es wird: E = 2,48 eV. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Grafik auf der Seite Photonen (3/4).

Die Gesamtenergie der 1000 Photonen des Blitzes im Auge ist 0,4·10-15 J oder 0,4 fJ.    (10-15 = 1 Billiardstel = 1 Femto, Kurzzeichen f)

b) Die Blitzenergie tritt in einer Millisekunde auf. Die Leistung durch die Pupille während der Blitzdauer wird:

P= 0,4⋅ 10 −15 J 10 −3 s =0,4⋅ 10 −12 W

oder 0,4 pW.    (10-12 = 1 Billionstel = 1 Piko, Kurzzeichen p)
Kaum zu glauben, dass das Auge solche Blitze sehen kann!

c) Der Radius der Pupille is r = 2 mm. Die hindurch tretende Leistung ist 0,4·10-12 W. Die Bestrahlungsstärke wird damit:

P π r 2 =32⋅ 10 −9 W m 2

oder 32 nW/m2. Zum Vergleich: Bei wolkenlosem Himmel ist die Bestrahlungsstärke am Boden bei Vollmond etwa 3 mW/m2, die Sonne im Zenit strahlt mit etwa 1 kW/m2.


Spektralanalyse: Farbglasfilter (4/4)

Aufgabe: Reflektanzen

Betrachten Sie vergleichend die Schwarz-Weiß-Aufnahmen der Bänder 1 bis 4 und die Falschfarbenaufnahme.
  1. Beurteilen Sie bitte die Reflektanzen vegetationsreicher und vegetationsarmer Landoberflächen und des Meerwassers anhand der jeweiligen Helligkeit.
  2. Auf der vorherigen Seite findet sich die Tabelle der TM-Bänder. Lassen sich die in der Spalte Bedeutung genannten Möglichkeiten bestätigen?
  3. Prüfen Sie Ihre Befunde durch Vergleich mit Informationen in weiterführenden SEOS-Seiten

Bei dieser Aufgabe werden keine Antworten vorgeschlagen.

 

Zu Ergänzung 1.1: Die Maxwell-Gleichungen

Aufgabe 1: Divergenz und Rotation eines Vektors

Bitte zeigen Sie, dass die Gleichungen für die Divergenz ∇⋅ E → und die Rotation ∇× E → des elektrischen Feldvektors richtig sind. Sind diese Terme skalare Größen oder Vektoren?

Lösungen:

∇⋅ E → =( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z )⋅( E x , E y , E z )= ∂ E x ∂x + ∂ E y ∂y + ∂ E z ∂z

ist ein Skalar,

∇× E → =| i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z E x E y E z | =( ∂ E z ∂y − ∂ E y ∂z , ∂ E x ∂z − ∂ E z ∂x , ∂ E y ∂x − ∂ E x ∂y )

ist ein Vektor. Die Größen i, j und k sind die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Koordinaten.

Aufgabe 2: Gradient eines Skalars

Der Vollständigkeit wegen sei erwähnt, dass der ∇-Operator auch auf skalare Größen angewandt werden kann. Sei φ(x,y,z) eine skalare Funktion im Raum, z.B. das elektrische Potenzial. Der Ausdruck ∇φ bezeichnet dann die räumliche Ableitung von φ, was auch als grad φ geschrieben werden kann. ∇φ ist ein Vektor, da der Vektor ∇ mit dem Skalar φ multipliziert wird.

Bitte schreiben Sie ∇φ komponentenweise in Richtung x, y, und z.

Lösung:

∇φ=( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z )φ=( ∂φ ∂x , ∂φ ∂y , ∂φ ∂z )

Zu Ergänzung 1.2:
Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellen

Aufgabe 1: Der Laplace-Operator

Der Nabla-Operator, in kartesischen Koordinaten geschrieben,

∇=( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z )

entspricht der ersten räumlichen Ableitung. Das Skalarprodukt ∇⋅∇=Δ ist dann die zweite räumliche Ableitung, der Laplace-Operator.

a) Bitte zeigen Sie, dass für den Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten gilt:

Δ= ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2

b) Bitte schreiben Sie die Wellengleichung des elektrischen Felds in Komponenten für kartesische Koordinaten.

Lösung:

a)      ∇⋅∇=Δ=( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂x )⋅( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂x )= ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2

b) Für das elektrische Feld E → =( E x , E y , E z ) einer Welle in beliebiger Richtung wird die x-Komponente:

∂ 2 E x ∂ x 2 + ∂ 2 E x ∂ y 2 + ∂ 2 E x ∂ z 2 = ε o μ o ∂ 2 E x ∂ t 2

und entsprechend für die y- und z-Komponenten sowie die Komponenten des Magnetfelds.

Aufgabe 2: Die dritte Maxwell-Gleichung in kartesischen Koordinaten

Bitte zeigen Sie durch eine Rechnung, dass die Feldvektoren

E → =( 0, E y , E z )     und     B → =( 0, B y , B z ) ,

angewandt auf die dritte Maxwell-Gleichung, die folgenden Komponentengleichungen liefern:

∂ B x ∂t =0           ∂ B y ∂t = ∂ E z ∂x           ∂ B z ∂t =− ∂ E y ∂x

Lösung:

Die dritte Maxwell-Gleichung

∇× E → =− ∂ B → ∂t    mit    E → =( 0, E y , E z )    und    B → =( 0, B y , B z )

In Komponenten:

( ( ∂ E z ∂y − ∂ E y ∂z ),− ∂ E z ∂x , ∂ E y ∂x )=−( 0, ∂ B y ∂t , ∂ B z ∂t )

Hieraus folgt die Behauptung.


Zu Ergänzung 1.4:
Energiedichte und Intensität elektromagnetischer Wellen

Aufgabe 1: Elektrisches und magnetisches Feld der Sonnenstrahlung

In Kapitel 2 Temperaturstrahlung wird gezeigt: die Bestrahlungsstärke der Sonnenstrahlung am Außenrand der Erdatmmosphäre hat den Wert 1361 W/m², was als Solarkonstante bezeichnet wird. Berechnen Sie bitte die elektrische und die magnetische Feldstärke dieser Strahlung.

Lösung:

⟨ S ⟩= E rad = cε 2 E o 2 = c 2μ B o 2 =1361  W m 2

Mit c=3⋅ 10 8  m/s , ε o =8,854⋅ 10 −12   A s V m und μ o =1,26⋅ 10 −6   V s A m folgt:

E o =1013 V/m     B o =3,38⋅ 10 −6   N C m/s =3,38⋅ 10 −6  Tesla

Das elektrische Feld ist sehr stark, das magnetsche Feld recht klein. Die Ursache ist - wie in der Ergänzung gezeigt - der Zusammenhang E=cB. Allerdings sind die Feldenergien des elektrischen und des magnetischen Felds gleich groß.

Es wird hier die Amplitude einer ebenen monochromatischen Welle berechnet, was für die Sonnenstrahlung mit ihrem breiten Spektrum nicht zutrifft; die Zahlenwerte des Ergebnisses sind trotzdem gültig.