Supplément 1.2: Résolution des équations de Maxwell pour les ondes électromagnétiques    (3/3)

Ondes planes monochromatiques      cont.

Les ondes se propageant dans des directions arbitraires a → peuvent être obtenues en convertissant le nombre d'onde k en un vecteur ayant la direction de l'onde qui se propage, k a → . Il s'agit du vecteur d'onde k → , avec | k → |= k=2π /λ .

TLe champ électrique et magnétique des ondes se propageant dans une direction donnée par l'orientation de k →   est alors :

E → ( r → ,t)= E → o sin( k → ⋅ r → −ωt )          B → ( r → ,t)= B → o sin( k → ⋅ r → −ωt )

Quelle relation existe-t-il entre E → and B → ? Elles sont reliées entre elles dans la troisième et la quatrième équation de Maxwell. Par exemple, la troisième équation se lit comme suit :

∇× E → =− ∂ B → ∂t

Nous choisissons une onde électromagnétique se propageant dans la direction x. Les vecteurs de champ étant orthogonaux à x, ils se réduisent en coordonnées cartésiennes à :

E → =( 0, E y , E z )            B → =( 0, B y , B z )

Avec ces vecteurs, la troisième équation de Maxwell devient :

composante y :            ∂ E z ∂x = ∂ B y ∂t
composante z :            ∂ E y ∂x =− ∂ B z ∂t

(la composante x disparaît puisque Bx=0).

Question 2: Troisième équation de Maxwell en composantes cartésiennes ↓
Équations ↓

Pour résoudre la composante y, nous choisissons un champ électrique sinusoïdal Ez:

E z = E z,o sin( kx−ωt )

Avec la dérivée partielle par rapport à x, ∂ E z ∂x , on obtient pour la composante y du champ magnétique :

B y =∫ ∂ E z ∂x dt =− k ω E z

De la même manière, la résolution de la composante z de l'équation de Maxwell donne :

B z = k ω E y

Les deux équations peuvent être combinées en une équation vectorielle :

B → = k ω a → × E →

où a → est à nouveau un vecteur unitaire pointant dans la direction de la propagation de l'onde. Les relations prouvent que

  • E → et B → et la direction de propagation de l'onde sont tous orthogonaux (ce que nous avons déjà constaté ci-dessus), et que
  • E → et B → hont en tout point une phase identique (par exemple, passages à zéro, maxima...), comme le montre le graphique du chapitre 1, section ondes électromagnétiques.