Supplément 1.7: Grandeurs radiatives et radiométrie (3/5)

L'intensité énergétique (en anglais : radiant intensity)

L'intensité énergétique est déterminée par la dépendance directionnelle du flux énergétique dans l'espace ou par la caractéristique directionnelle d'une source de rayonnement. Elle indique le flux énergétique présente dans un angle solide unitaire de 1 sr.

Symbole : $I$
Unité de mesure: Watt par stéradian, $[I] = \frac{W}{sr}$

Le rapport avec le flux énergétique est le suivant :

I = \frac{Φ}{Ω}

Le concept d'angle solide $Ω$ est illustré clairement dans le graphique suivant.

Un angle solide Ω dans un hémisphère. Il est égal au rapport entre la surface du segment sphérique a et le carré du rayon sphérique R: Ω = a/R². La surface du segment sphérique est représentée par un cercle comme ligne de bordure ; il n'y a cependant aucune restriction quant à la forme des angles solides.

Les angles solides sont exprimés en stéradians, une unité sans dimension dont le symbole est sr. À ne pas confondre avec les angles plans, dont l'unité est le radian et le symbole rad. Vous trouverez une illustration des angles plans et des angles solides dans le module d'apprentissage Remote Sensing using Lasers, dont sont tirées les images de cette page.

Étant donné que la surface d'une sphère de rayon R a une valeur de $4 π R^{2}$ , l'espace total autour du centre de la sphère correspond à l'angle solide $Ω = 4 π sr$ . L'angle solide unitaire $Ω = 1 sr$ mentionné ci-dessus est donc assez grand ; cependant, les angles solides peuvent être réduits ou agrandis.

Pour le rapport entre l'intensité énergétique et le flux énergétique d'un émetteur isotrope (de même luminosité dans toutes les directions), on a donc :

I = \frac{Φ}{4 π}

Φ = 4 π I

Exemple : efficacité d'un collimateur à lentille ↓

La lumière d'une très petite lampe ('source lumineuse ponctuelle') qui émet une luminosité identique dans toutes les directions (isotrope) doit être reproduite sous forme d'un faisceau aussi parallèle que possible à l'aide d'une lentille plano-convexe d'une distance focale de f = 100 mm et d'un diamètre de D = 50 mm. Pour cela, la lentille est placée à une distance égale à la distance focale de la source. Quelle proportion du rayonnement total se trouve dans le faisceau lumineux parallèle ?

L'angle solide couvert par la lentille est

Ω = \frac{a}{R^{2}} = \frac{π {(D / 2)}^{2}}{f^{2}} = 0,196 sr

La lampe éclaire toute la pièce avec un angle solide de $4 π \approx 12,6 sr$ . Le rendement n'est donc que de 15,9·10^-3, soit 1,59%.

Cependant, le calcul contient une erreur : la surface $a$ est considérée comme une surface circulaire. Or, il s'agit d'une surface sphérique courbe (ou d'une section sphérique) dont la surface dépasse celle d'une surface circulaire plane. La situation est illustrée dans le graphique suivant.

Un collimateur composé d'une lampe et d'une lentille. La lampe n'émet en réalité pas de manière isotrope dans toutes les directions, mais cela n'a ici aucune importance. La lentille plano-convexe de diamètre D est représentée en bleu. Le côté convexe est orienté vers le haut et le sommet du côté convexe se trouve à une distance R=f vde la lampe.

Le côté plat de la lentille avec la surface $π {(D / 2)}^{2}$ est orienté vers le bas. Le côté convexe de la lentille est tourné vers le haut, h étant l'épaisseur de la lentille. D'un point de vue optique, cette orientation est correcte, car la réfraction se répartit sur les deux surfaces du verre. Dans le cas contraire, si le côté plan de la lentille était tourné vers le haut, le côté convexe de la lentille devrait assurer toute la réfraction de la lumière de la lampe, ce qui provoquerait des aberrations plus importantes. Le graphique suppose également que la surface convexe de la lentille correspond à la surface du segment sphérique. Ce n'est en réalité pas le cas : une telle lentille plano-convexe aurait un rayon de courbure d'environ 52 mm, soit seulement la moitié du rayon sphérique. La surface M de l'enveloppe du segment sphérique que nous utilisons à la place est

M = 2 π R h

voir par exemple Bronstein-Semendjajew : Taschenbuch der Mathematik (Livre de poche des mathématiques), chapitre Géométrie, section Stéréométrie. Pour le triangle rectangle formé par l'angle d'ouverture ϕ, on a :

{(R - h)}^{2} + {(\frac{D}{2})}^{2} = R^{2}

c'est-à-dire :

(R - h) = \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}}

D'autre part, $h = R - (R - h) = R - \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}}$ ,

ce qui élimine l'inconnue h. Il en résulte pour la surface du segment sphérique :

M = 2 π R (R - \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}})

et pour l'angle solide corrigé :

Ω = \frac{a}{R^{2}} = \frac{M}{f^{2}} = \frac{2 π}{f} (f - \sqrt{f^{2} - {(D / 2)}^{2}}) = 0,200 sr

La différence par rapport au résultat du calcul simplifié reste négligeable.

Il existe une autre erreur qui mérite au moins d'être mentionnée : la distance focale f et le rayon de la sphère R ne doivent pas être assimilés. Une lentille réelle possède deux points principaux à partir desquels les distances focales sont calculées des deux côtés. Dans l'orientation choisie ici, avec le foyer situé à l'emplacement de la lampe, le point principal correspondant ne se trouve pas au sommet du côté convexe de la lentille, mais à l'intérieur de la lentille.

Exercice 1 : L'intensité énergétique du rayonnement solaire ↓

Équations ↓

Comment représenter l'intensité dans un angle solide avec une orientation quelconque dans l'espace ? Pour cela, il faut un système de coordonnées approprié. Les coordonnées cartésiennes (x,y,z) seraient ici peu pratiques. Les coordonnées polaires spatiales (coordonnées sphériques) sont plus adaptées :

Distance r par rapport à l'origine (ou rayon R d'une sphère),
angle φ par rapport à l'axe x (angle azimutal) et
angle ϑ par rapport à l'axee z (angle zénithal).

Le rapport avec les coordonnées cartésiennes et la transformation d'un système de coordonnées à l'autre sont abordés dans le module d'apprentissage Remote Sensing using Lasers.

Si le flux énergétique varie selon les directions, il faut utiliser une représentation différentielle. Elle résulte du flux énergétique différentiel divisée par l'angle solide différentiel autour de l'orientation considérée :

I = \frac{d Φ}{d Ω}

Le graphique suivant montre un angle solide différentiel formé à partir de la surface da située à une distance R de l'origine des coordonnées

d Ω = \frac{d a}{R^{2}}

Un élément de surface différentiel da sur une surface sphérique. La surface da ne doit pas nécessairement être rectangulaire, car le bord des surfaces infinitésimales n'a pas de forme définie. L'axe x mentionné ci-dessus pointe vers φ=0, l'axe z vers ϑ=0; dans le graphique, aucun des deux n'est explicitement désigné.

Les côtés de $d a$ sont $R sin ϑ d φ$ dans la direction de l'azimut et $R d ϑ$ dans la direction du zénith. Leur produit divisé par $R^{2}$ donne l'angle spatial différentiel