Supplément 1.7: Grandeurs radiatives et radiométrie (3/5)

L'intensité énergétique (en anglais : radiant intensity)

L'intensité énergétique est déterminée par la dépendance directionnelle du flux énergétique dans l'espace ou par la caractéristique directionnelle d'une source de rayonnement. Elle indique le flux énergétique présente dans un angle solide unitaire de 1 sr.

Symbole : $I$
Unité de mesure: Watt par stéradian, $[I] = \frac{W}{sr}$

Le rapport avec le flux énergétique est le suivant :

I = \frac{Φ}{Ω}

Le concept d'angle solide $Ω$ est illustré clairement dans le graphique suivant.

Un angle solide Ω dans un hémisphère. Il est égal au rapport entre la surface du segment sphérique a et le carré du rayon sphérique R: Ω = a/R². La surface du segment sphérique est représentée par un cercle comme ligne de bordure ; il n'y a cependant aucune restriction quant à la forme des angles solides.

Man benennt Raumwinkelwerte mit der dimensionslosen Einheit Steradiant, mit dem Formelzeichen sr - nicht zu verwechseln mit ebenen Winkeln mit der Einheit Radiant und dem Formelzeichen rad. Eine Darstellung zu ebenen Winkeln und Raumwinkeln findet sich in der Lerneinheit Fernerkundung mit Lasern, der die Abbildungen dieser Seite entnommen sind.

Da die Oberfläche einer Kugel mit Radius R den Wert $4 π R^{2}$ hat, entspricht der gesamte Raum um den Kugelmittelpunkt dem Raumwinkel $Ω = 4 π sr$ . Der oben genannte Einheitsraumwinkel $Ω = 1 sr$ ist daher recht groß; Raumwinkel können jedoch herunter- oder hochskaliert werden.

Für den Zusammenhang zwischen Strahlstärke und Strahlungsleistung eines in alle Richtungen gleich hellen (isotropen) Strahlers gilt daher:

I = \frac{Φ}{4 π}

bzw.

Φ = 4 π I

Beispiel: Effizienz eines Linsenkollimators ↓

Das Licht einer sehr kleinen Lampe ("Punktlichtquelle"), die in alle Richtungen gleich hell (isotrop) emittiert, soll mit einer plankonvexen Linse mit f = 100 mm Brennweite und D = 50 mm Durchmesser in ein möglichst paralleles Strahlbündel abgebildet werden. Hierfür wird die Linse im Abstand der Brennweite von der Quelle aufgestellt. Welcher Anteil der Gesamtstrahlung findet sich in dem parallelen Lichtbündel?

Der von der Linse erfasste Raumwinkel ist

Ω = \frac{a}{R^{2}} = \frac{π {(D / 2)}^{2}}{f^{2}} = 0,196 sr

Die Lampe strahlt in den ganzen Raum mit dem Raumwinkel $4 π \approx 12,6 sr$ . Die Ausbeute ist somit nur 15,9·10^-3 oder 1,59 Prozent.

Allerdings enthält die Rechnung einen Fehler: die Fläche $a$ wird als Kreisfläche angenommen. Sie ist aber eine gekrümmte Kugelsegmentfläche (oder: ein Kugelabschnitt), deren Oberfläche diejenige einer ebenen Kreisfläche übertrifft. Die Situation stellt sich wie in der folgenden Grafik dar.

Ein Kollimator aus Lampe und Linse. Die Lampe strahlt tatsächlich nicht isotrop in alle Richtungen, aber das spielt hier keine Rolle. Die plankonvexe Linse mit dem Durchmesser D ist blau dargestellt. Die konvexe Seite weist nach oben, und der Scheitelpunkt der konvexen Seite steht im Abstand R=f von der Lampe.

Die plane Seite der Linse mit der Fläche $π {(D / 2)}^{2}$ weist nach unten. Die konvexe Seite der Linse weist nach oben, h sei die Dicke der Linse. Optisch betrachtet ist die Orientierung so richtig, da sich die Brechung auf beide Glasoberflächen verteilt. Andernfalls - wenn die plane Seite der Linse nach oben zeigt - müsste die konvexe Seite der Linse die gesamte Brechung des Lampenlichts leisten, was größere Abbildungsfehler hervorruft. Es wird in der Grafik weiter angenommen, dass die konvexe Fläche der Linse mit der Kugelsegmentfläche übereinstimmt. Das ist tatsächlich nicht der Fall: eine solche Plankonvexlinse hätte etwa 52 mm Krümmungsradius, d.h. nur etwa die Hälfte des Kugelradius. Die Fläche M des Mantels des Kugelsegments, den wir stattdessen nutzen, ist

M = 2 π R h

siehe z.B. Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Kapitel Geometrie, Abschnitt Stereometrie. Für das vom Öffnungswinkel ϕ aufgespannte rechtwinklige Dreieck gilt:

{(R - h)}^{2} + {(\frac{D}{2})}^{2} = R^{2}

d.h.:

(R - h) = \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}}

Andererseits ist $h = R - (R - h) = R - \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}}$ ,

womit die unbekannte Größe h eliminiert ist. Es folgt für die Kugelsegmentfläche:

M = 2 π R (R - \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}})

und für den korrigierten Raumwinkel:

Ω = \frac{a}{R^{2}} = \frac{M}{f^{2}} = \frac{2 π}{f} (f - \sqrt{f^{2} - {(D / 2)}^{2}}) = 0,200 sr

Der Unterschied zum Ergebnis der vereinfachten Rechnung bleibt vernachlässigbar klein.

Es gibt einen weiteren Fehler, der zumindest erwähnt werden soll: Brennweite f und Kugelradius R dürfen nicht gleichgesetzt werden. Eine reale Linse besitzt zwei Hauptpunkte, ab denen die Brennweiten zu beiden Seiten hin zählen. In der hier gewählten Orientierung mit dem Brennpunkt am Ort der Lampe liegt der zugehörige Hauptpunkt nicht am Scheitelpunkt der konvexen Linsenseite, sondern innerhalb der Linse.

Aufgabe 1: Die Strahlstärke der Sonne ↓

Équations ↓

Wie kann die Strahlstärke in einem Raumwinkel mit beliebiger Orientierung im Raum dargestellt werden? Hierfür benötigt man ein geeignetes Koordinatensystem. Kartesische (x,y,z) - Koordinaten wären hier eher unpraktisch. Es bieten sich räumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) an:

Abstand r zum Ursprung (bzw. Radius R einer Kugel),
Winkel φ gegen die x-Achse (Azimutwinkel), und
Winkel ϑ gegen die z-Achse (Zenitwinkel).

Der Zusammenhang mit kartesischen Koordinaten und die Transformation vom einen zum anderen Koordinatensystem ist in der Lerneinheit Fernerkundung mit Lasern zu finden.

Ist die Strahlungsleistung in unterschiedlichen Richtungen veränderlich, muss eine differenzielle Darstellung genutzt werden. Sie ergibt sich aus der differenziellen Strahlungsleistung geteilt durch den differenziellen Raumwinkel um die jeweils betrachtete Orientierung herum:

I = \frac{d Φ}{d Ω}

Die folgende Grafik zeigt einen aus der Fläche da im Abstand R vom Koordinatenursprung gebildeten differenziellen Raumwinkel

d Ω = \frac{d a}{R^{2}}

Ein differenzielles Flächenelement da auf einer Kugeloberfläche. Die Fläche da muss nicht rechteckig sein, da der Rand infinitesimaler Flächen keine definierte Form aufweist. Die oben genannte x-Achse weist in Richtung φ=0, die z-Achse in Richtung ϑ=0; in der Grafik sind beide nicht explizit bezeichnet.

Die Seiten von $d a$ sind $R sin ϑ d φ$ in Richtung Azimut und $R d ϑ$ in Richtung Zenit. Ihr Produkt geteilt durch $R^{2}$ ergibt den differenziellen Raumwinkel

d Ω = sin ϑ d ϑ d φ

Eine Strahlstärke in der Orientierung dieses Raumwinkels führt zu einer differenziellen Strahlungsleistung:

d Φ = I d Ω = I (ϑ, φ) sin ϑ d ϑ d φ

Im Raum integriert zwischen Anfangswinkeln "1" und Endwinkeln "2":

Φ = \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} I (ϑ, φ) sin ϑ d ϑ d φ

Für einen isotropen Strahler mit richtungsunabhängiger Strahlstärke kann das Integral gelöst werden. Bei einem kegelförmigen Raumwinkel wie in der linken Grafik, der aber in Richtung Zenit orientiert ist, variiert der Azimutwinkel $φ$ von 0 bis $2 π$ . Der Zenitwinkel $ϑ$ variiert von 0 bis zum halben Öffnungswinkel $ϑ'$ :

Φ = I \int_{ϑ = 0}^{ϑ'} \int_{φ = 0}^{2 π} sin ϑ d ϑ d φ = I \cdot 2 π (1 - cos ϑ')

Diese Lösung ist eine Alternative zu der Rechnung im Beispiel Effizienz eines Linsenkollimators in der linken Spalte.

Aufgabe 2: Isotrope Strahler ↓

Le spectre de la Terre

Supplément 1.7: Grandeurs radiatives et radiométrie (3/5)

L'intensité énergétique (en anglais : radiant intensity)