Supplement 1.7: Stralingsgrootheden en radiometrie (3/9)

De stralingssterkte (engels: radiant intensity)
ook: stralingsintensiteit

De stralingssterkte wordt bepaald door de richtingsafhankelijkheid van het stralingsvermogen in de ruimte of door de richtingskarakteristiek van een stralingsbron. Deze geeft het stralingsvermogen aan dat aanwezig is in een eenheidsruimtehoek van 1 sr.

Symbool: $I$
Meeteenheid: Watt door steradiaal, $[I] = \frac{W}{sr}$

Het verband met het stralingsvermogen is:

I = \frac{Φ}{Ω}

Het concept van de ruimtehoek $Ω$ wordt duidelijk in de volgende afbeelding.

Een ruimtehoek Ω in een halve bol. Deze is gelijk aan de verhouding tussen het oppervlak van het bolsegment a en het kwadraat van de straal R: Ω = a/R². Het oppervlak van het bolsegment wordt weergegeven met een cirkel als randlijn; er zijn echter geen beperkingen voor de vorm van ruimtehoeken.

Ruimtehoekwaarden worden uitgedrukt in de dimensieloze eenheid steradiaal, met het symbool sr - niet te verwarren met vlakke hoeken met de eenheid radiaal en het symbool rad. Een weergave van vlakke hoeken en ruimtehoeken is te vinden in de leereenheid Remote Sensing using Lasers, waaruit de afbeeldingen op deze pagina zijn overgenomen.

Aangezien het oppervlak van een bol met straal R de waarde $4 π R^{2}$ heeft, komt de totale ruimte rond het middelpunt van de bol overeen met de ruimtehoek $Ω = 4 π sr$ . De bovengenoemde eenheidsruimtehoek $Ω = 1 sr$ is daarom vrij groot; ruimtehoeken kunnen echter worden verkleind of vergroot.

Voor het verband tussen de stralingssterkte en het stralingsvermogen van een in alle richtingen even heldere (isotrope) straler geldt daarom:

I = \frac{Φ}{4 π}

resp.

Φ = 4 π I

Voorbeeld: efficiëntie van een lenscollimator ↓

Het licht van een zeer kleine lamp (“puntlichtbron”), die in alle richtingen even helder (isotroop) straalt, moet met een plano-convexe lens met een brandpuntsafstand van f = 100 mm en een diameter van D = 50 mm in een zo parallel mogelijke lichtbundel worden afgebeeld. Hiervoor wordt de lens op een afstand van de brandpuntsafstand van de bron geplaatst. Welk deel van de totale straling bevindt zich in de parallelle lichtbundel?

De door de lens bestreken ruimtehoek is

Ω = \frac{a}{R^{2}} = \frac{π {(D / 2)}^{2}}{f^{2}} = 0,196 sr

De lamp straalt in de hele ruimte met een ruimtehoek van $4 π \approx 12,6 sr$ . Het rendement is dus slechts 15,9·10^-3 of 1,59 procent.

De berekening bevat echter een fout: het oppervlak $a$ wordt beschouwd als een cirkeloppervlak. Het is echter een gebogen bolvormig segmentoppervlak (of: een bolvormig gedeelte) waarvan het oppervlak groter is dan dat van een vlak cirkeloppervlak. De situatie wordt weergegeven in de volgende afbeelding.

Een collimator bestaande uit een lamp en een lens. De lamp straalt in werkelijkheid niet isotroop in alle richtingen, maar dat doet hier niet ter zake. De plankonvexe lens met diameter D is blauw weergegeven. De convexe zijde is naar boven gericht en het topunt van de convexe zijde bevindt zich op een afstand R=f van de lamp.

De vlakke kant van de lens met het oppervlak $π {(D / 2)}^{2}$ wijst naar beneden. De convexe kant van de lens wijst naar boven, waarbij h de dikte van de lens is. Optisch gezien is deze oriëntatie correct, omdat de breking over beide glasoppervlakken wordt verdeeld. Anders – als de vlakke kant van de lens naar boven wijst – zou de convexe kant van de lens de volledige breking van het lamplicht moeten uitvoeren, wat grotere afbeeldingsfouten veroorzaakt. In de afbeelding wordt verder aangenomen dat het convexe oppervlak van de lens overeenkomt met het oppervlak van het bolsegment. Dat is in werkelijkheid niet het geval: een dergelijke vlakke convexe lens zou een krommingsstraal van ongeveer 52 mm hebben, d.w.z. slechts ongeveer de helft van de bolstraal. Het oppervlak M van de mantel van het bolsegment dat we in plaats daarvan gebruiken, is

M = 2 π R h

zie bijvoorbeeld Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, hoofdstuk Geometrie, paragraaf Stereometrie. Voor de rechthoekige driehoek die wordt gevormd door de openingshoek ϕ geldt:

{(R - h)}^{2} + {(\frac{D}{2})}^{2} = R^{2}

d.w.z.:

(R - h) = \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}}

Anderzijds is $h = R - (R - h) = R - \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}}$ ,

waardoor de onbekende grootheid h wordt geëlimineerd. Voor het oppervlak van het bilsegment geldt dan:

M = 2 π R (R - \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}})

en voor de gecorrigeerde ruimtehoek:

Ω = \frac{a}{R^{2}} = \frac{M}{f^{2}} = \frac{2 π}{f} (f - \sqrt{f^{2} - {(D / 2)}^{2}}) = 0,200 sr

Het verschil met het resultaat van de vereenvoudigde berekening blijft verwaarloosbaar klein.

Er is nog een fout die in ieder geval vermeld moet worden: brandpuntsafstand f en bolstraal R mogen niet gelijkgesteld worden. Een echte lens heeft twee hoofdpunten, van waaruit de brandpuntsafstanden naar beide kanten worden geteld. In de hier gekozen oriëntatie met het brandpunt op de plaats van de lamp ligt het bijbehorende hoofdpunt niet op het hoogste punt van de convexe lenszijde, maar binnen de lens.

Opdracht 1: De stralingsintensiteit van de zon ↓

Vergelijkingen ↓

Hoe kan de stralingssterkte in een ruimtehoek met willekeurige oriëntatie in de ruimte worden weergegeven? Hiervoor is een geschikt coördinatensysteem nodig. Cartesiaanse (x,y,z) coördinaten zouden hier nogal onpraktisch zijn. Ruimtelijke poolcoördinaten (bolcoördinaten) zijn hiervoor geschikt:

Afstand r tot de oorsprong (of straal R van een bol),
hoek φ ten opzichte van de x-as (azimuthoek) en
hoek ϑ ten opzichte van de z-as (zenithoek).

Het verband met cartesiaanse coördinaten en de transformatie van het ene naar het andere coördinatensysteem is te vinden in de leereenheid Remote Sensing using Lasers.

Als het stralingsvermogen in verschillende richtingen variabel is, moet een differentiële weergave worden gebruikt. Deze wordt verkregen door het differentiële stralingsvermogen te delen door de differentiële ruimtehoek rond de betreffende oriëntatie:

I = \frac{d Φ}{d Ω}

De volgende afbeelding toont een differentiële ruimtehoek die wordt gevormd door het vlak da op afstand R van het coördinatenstelsel

d Ω = \frac{d a}{R^{2}}

Een differentieel oppervlakte-element da op een boloppervlak. Het oppervlak da hoeft niet rechthoekig te zijn, omdat de rand van infinitesimale oppervlakken geen gedefinieerde vorm heeft. De bovengenoemde x-as wijst in de richting van φ=0, de z-as in de richting van ϑ=0; in de grafiek zijn beide niet expliciet aangegeven.

De zijden van $d a$ zijn $R sin ϑ d φ$ in de richting van het azimut en $R d ϑ$ in de richting van het zenit. Hun product gedeeld door $R^{2}$ geeft de differentiële ruimtehoek