Ergänzung 2.2: Das Plancksche Strahlungsgesetz     (1/2)

Max Planck ging konzeptionell von einem Hohlraum aus, dessen Strahlung sich im thermischen Gleichgewicht mit der Oberfläche des Innenraums befindet. Die Atome der Oberfläche absorbieren alle auftreffende Strahlung. Gleichzeitig strahlen sie elektromagnetische Wellen ab, nach dem Kirchhoffschen Gesetz mit dem größstmöglichen Emissionsgrad $\epsilon =1$ eines schwarzen Körpers.

Eine zweite konzeptionelle Überlegung betraf die Energie der Wellen, die von den Atomen der Oberfläche abgestrahlt werden. Diese Wellen sind an die schwingenden Atome, an sogenannte Oszillatoren, gekoppelt. Nach der klassischen Physik sind solche Energiewerte kontinuierlich verteilt: die Schwingungsenergie eines klassischen schwingenden Systems kann stetig verteilte Werte annnehmen. Planck nahm jedoch an, dass diese Energien quantisiert sind, und daher nur diskret verteilte Energiewerte auftreten können. Dies widersprach zwar den Gesetzen der klassischen Physik. Es führte aber zu einem richtigen Ergebnis und bildete die Grundlage einer neuen Entwicklung in der Physik, der Quantentheorie.

Wellen im Hohlraum

Wir betrachten einen kleinen Bereich des Spektrums bei einer Frequenz $f$ und die dort in einem infinitesimalen Frequenzintervall $\text{d}f$ vorhandene Energiedichte $\text{d}U=u_f\text{d}f$ der Wellen. Sie lässt sich offenbar auch als mittlere spektrale Energiedichte einer Einzelwelle multipliziert mit der Zahl der im Intervall $\text{d}f$ vorhandenen Wellen verstehen.

Die Zahl dieser Wellen kann abgeschätzt werden. Nach der Maxwellschen Theorie der elektromagnetischen Wellen soll die elektrische Feldstärke an der Oberfläche des Hohlraums Null sein. Es können somit nur stehende Wellen mit Schwingungsknoten an der Oberfläche auftreten, für deren Wellenlängen in einem Hohlraum mit der inneren Weite $L$ gilt:

wobei gilt: $n=\mathrm{0<mo>,</mo>}\mathrm{1<mo>,</mo>}\mathrm{2<mo>,</mo>}\mathrm{3<mo>,</mo>}\mathrm{...}$ Es passen demnach nur ganzzahlige Vielfache der halben Wellenlänge in die Strecke $L$, wenn an den Rändern ein Knoten vorliegen soll. Die möglichen Wellenlängen sind somit nicht stetig, sondern diskret verteilt; sie bilden die Eigenschwingungen, die sogenannten Moden des Hohlraums.

Die Wellenzahlen bzw. Frequenzen der Wellen sind entsprechend:

Stellt man die letzte Beziehung um und bildet Differenziale, so folgt für die gesuchte Zahl der Schwingungsmoden im Frequenzintervall:

Nun ist zu berücksichtigen, dass der Hohlraum dreidimensional ist und Wellen mit Schwingungsmoden in drei Dimensionen x, y und z vorliegen. Entsprechend bilden sich diskrete Zahlenwerte n_x, n_y und n_z in diesen Koordinatenrichtungen aus. Wieviele Wellen $\text{d}N$ liegen insgesamt in dem Hohlraum vor?

Um dies zu finden, untersuchen wir die Wellen in einem dreidimensionalen Raum mit den Koordinaten n_x, n_y und n_z. Die zum Frequenzintervall $\text{d}f$ gehörenden Wellen liegen dann in einer Kugelschale dieses Raums mit dem Radius

und der Dicke $\text{d}n$. Ihr Volumen ergibt sich aus Kugeloberfläche multipliziert mit Schalendicke zu $4\pi n^2\text{d}n$.

Allerdings sind ausschließlich positive Werte der n_x, n_y und n_z zulässig (die Wellenlängen in der Bedingung für die stehenden Wellen sind positiv). Von den acht Oktanten des Koordinatensystems ist daher nur einer, in dem alle Koordinatenwerte positiv sind, erlaubt.

Dreidimensionaler Raum der möglichen Schwingungsmoden stehender Wellen im Hohlraum. Nur der Oktant mit ausschließlich positiven Koordinatenwerten ist gezeigt.

Jede Welle kann mit zwei zueinander senkrechten Polarisationen auftreten, was mit einem Faktor 2 zu wichten ist. Das ergibt mit Einsetzen der Ausdrücke für $n$ und $\text{d}n$ die Zahl der Schwingungszustände:

Hierbei sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen, dass der Hohlraum in allen drei Dimensionen die gleiche Weite $L$ aufweist. Mit dem Volumen $V=L^3$ erhält man die Anzahl der Moden des Hohlraums im Frequenzintervall $\text{d}f$ zu: