Supplement 2.3: De wet van Stefan-Boltzmann (2/2)

Afleiding uit elektrodynamica en thermodynamica

In de theoretische elektrodynamica is aangetoond (trefwoord: energie-momentum tensor van het elektromagnetische veld) dat elektromagnetische golven een stralingsdruk genereren die werkt als een kracht op een verlicht oppervlak. Dit is al experimenteel bewezen. Deze druk is direct gerelateerd aan de intensiteit van de verlichting op het oppervlak, en dus ook aan de Poyntingvector $⟨ S ⟩$ zoals berekend in supplement 1.4:

p = ⟨ S ⟩ / c

waarbij $c$ de lichtsnelheid is. In supplement 1.4 werd ook aangetoond dat de Poynting vector kan worden afgeleid door de energiedichtheid $U$ te vermenigvuldigen met $c$ , wat geeft:

⟨ S ⟩ = c U

Stralingsdruk en energiedichtheid zijn daarom nauw met elkaar verbonden. Nu beschouwen we elektromagnetische golven in thermisch evenwicht in een vacuümruimte. Onder deze omstandigheden kan de stralingsdruk in het vacuüm worden gekarakteriseerd:

p = \frac{1}{3} U

Deze relatie is de toestandsvergelijking van holtestraling.

De energiedichtheid hangt af van de temperatuur, maar niet van het volume van het vacuüm; een isotherme verandering in volume heeft geen invloed op de straling van de holte. Dit geldt ook voor de stralingsdruk. In dit opzicht verschilt de toestandsvergelijking van holtestraling van de toestandsvergelijking van een ideaal gas $p V = R T$ , waarbij de condities zowel van het volume als van de druk en temperatuur afhangen; $R$ is de universele gasconstante. Dit gezegd hebbende, ondersteunt de toestandsvergelijking van holtestraling wel het fotonmodel van licht met het concept van een fotonengas in het vacuüm; hoewel in tegenstelling tot de deeltjes van het ideale gas, het aantal fotonen kan veranderen door absorptie en emissie.

Volgens $E = U V$ hangt de totale energie $E$ in het vacuüm af van de energiedichtheid en het volume. Het komt overeen met de interne energie in het vacuüm, waarvan de infinitesimale verandering kan worden afgeleid uit $U$ en $V$ :

d E = V d U + U d V

Volgens de eerste wet van de thermodynamica neemt de interne energie toe met toegevoerde warmte $δ q$ en neemt deze af door arbeid te verrichten door het volume $p d V$ te vergroten:

d E = δ q - p d V

Als we de twee relaties voor de inwendige energie aan elkaar gelijkstellen, de druk vervangen door de energiedichtheid volgens de vergelijking van de hierboven genoemde holtestraling en herschrijven, krijgen we:

δ q = \frac{4}{3} U d V + V d U

De entropie in de holte verandert als gevolg van een verandering in warmte volgens

d S = \frac{δ q}{T} = \frac{4}{3} \frac{U}{T} d V + \frac{V}{T} \frac{\partial U}{\partial T} d T

Aan de andere kant geldt het volgende voor entropie wanneer het volume en de temperatuur veranderen:

d S = \frac{\partial S}{\partial V} d V + \frac{\partial S}{\partial T} d T

Omdat de entropie een continue en differentieerbare grootheid is (en dus een toestandsfunctie), zijn de afgeleiden van de coëfficiënten gelijk:

\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial S}{\partial V} = \frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial S}{\partial T}

\frac{\partial^{2} S}{\partial T \partial V} = \frac{\partial^{2} S}{\partial V \partial T}

Dat wil zeggen dat de volgorde van de afleidingen irrelevant is. Dus hier:

\frac{4}{3} \frac{\partial}{\partial T} \frac{U}{T} = \frac{\partial}{\partial V} (\frac{V}{T} \frac{\partial U}{\partial T})

Verder afleiden geeft:

\frac{4}{3} (\frac{\partial U}{\partial T} - \frac{U}{T^{2}}) = \frac{1}{T} \frac{\partial U}{\partial T}

Na inkorten en herschrijven krijg je de volgende vergelijking:

\frac{1}{U} d U = \frac{4}{T} d T

Als we de linker- en rechterkant integreren binnen de respectieve grenzen van $U$ en $T$ , komen we uit op de wet van Stefan-Boltzmann:

U = const . \cdot T^{4}

De coëfficiënt aan de rechterkant die het resultaat is van de integratie kan niet worden bepaald door de klassieke natuurkunde; zoals op de vorige pagina is aangetoond, is hiervoor de stralingswet van Planck nodig en dus de kwantumtheorie.

De basisbeginselen van de differentialen en afgeleiden van functies van meerdere variabelen die op deze pagina worden gebruikt, kunnen worden gevonden in supplement 2.6.

Informatie over thermodynamische variabelen en functies en de betekenis van de symbolen " $d$ " en " $δ$ " kun je vinden in supplement 2.7.

Inzicht in Spectra van de Aarde

Supplement 2.3: De wet van Stefan-Boltzmann (2/2)

Afleiding uit elektrodynamica en thermodynamica