Supplément 2.6: Différentielles et dérivations (1/4)

Fonctions d'une variable

Dans l'analyse scolaire, les fonctions sont les suivantes

y = f (x)

qui dépendent d'une seule variable, à savoir $x$ . Exemples:

y = x^{2}

y = sin x

y = e^{a x}

Les dérivées de $x$ sont symboliquement désignées par $y'$ , par $f' (x)$ ou par $\frac{d y}{d x}$ .

Selon la troisième option, la dérivée est le quotient différentiel de deux quantités $d y$ et $d x$ . Ces quantités sont appelées différentielles, car elles deviennent des différences infiniment petites à partir de différences finiment grandes $Δ y = y_{2} - y_{1}$ et $Δ x = x_{2} - x_{1}$ en passant par une limite

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{d y}{d x}

Elles deviennent ce que l'on appelle des différences infinitésimales.

Les différentiels ne doivent pas nécessairement être des parties de quotients, mais peuvent être autonomes. Exemple :

y = x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 x \Leftrightarrow d y = 2 x d x

Fonction de plusieurs variables

Dans la plupart des cas, les processus naturels dépendent de plusieurs variables environnementales et il en va de même pour la modélisation mathématique de ces processus. Un exemple : la température à un endroit donné prend des valeurs différentes à d'autres endroits et est donc fonction des coordonnées $x$ , $y$ et $z$ . De plus, elle prend des valeurs différentes pour différents temps $t$ . La température est donc fonction de quatre variables : $T = f (x, y, z, t)$ .

Cet exemple de changement de température dans l'espace et le temps sera discuté dans la suite afin de montrer concrètement l'importance des différentielles et des dérivées. Mais d'abord, l'utilisation de ces termes sera développée de manière strictement formelle, car les quantités nommées ne sont pas de nature descriptive.

Une fonction $z$ dépend de deux variables $x$ et $y$ :

z = f (x, y)

Comment former la dérivée de $z$ ? Comment peut-on montrer que $z$ est dérivée par rapport à $x$ ou $y$ ou même aux deux en même temps ? Il est clair que les styles $z'$ ou $f' (x, y)$ ne sont d'aucune aide puisqu'ils laissent la question sans réponse. Ce qui simplifie les choses, c'est de l'écrire comme un quotient différentiel.

Equations ↓

Il faut d'abord examiner la dérivée par rapport à $x$ :

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x}

Le symbole $\partial$ à la place de $d$ montre que la fonction $z$ est dérivée par rapport à $x$ uniquement ; les composantes $y$ sont considérées comme constantes. On parle donc de dérivée partielle de $z$ par rapport à $x$ . La dérivée partielle par rapport à $y$ s'écrit de la même manière :

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial y}

Parfois, les variables prises comme constantes sont écrites sous forme d'indice entre parenthèses en bas à droite, c'est-à-dire :

{(\frac{d z}{d x})}_{y} = \frac{\partial z}{\partial x}

{(\frac{d z}{d y})}_{x} = \frac{\partial z}{\partial y}

Cette convention est fréquemment utilisée en thermodynamique pour indiquer quelles variables doivent rester constantes ; dans la plupart des cas - et dans celui-ci en particulier - le symbole $\partial$ suffit.

En multipliant les dérivées partielles par les différentielles des variables respectives et en additionnant les deux termes, il est possible d'écrire la différentielle de la fonction $z$ :

d z = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} d y

en bref :

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y

Tâche 1 : dérivées partielles et différentielles ↓

Veuillez calculer les dérivées partielles et la différentielle totale des fonctions suivantes :

z = x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3}

z = x sin y - y sin x

Vous trouverez peut-être les solutions sur ce site. Mais essayez d'abord de résoudre le problème vous-même !

Nous avons écrit ci-dessus la différentielle totale de $z$ . Il n'est évidemment pas possible de montrer la dérivée première de la fonction $z$ par rapport aux deux variables. TLa dérivée seconde est plus facile à préciser, elle s'écrit $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ .

On peut trouver une expression pour la dérivée première, si les variables $x$ et $y$ dépendent d'un paramètre commun $t$ . Si

x = f_{x} (t)

y = f_{y} (t)

on peut alors calculer les dérivées de $x$ et $y$ par rapport à $t$ . En considérant ces dérivées dans l'équation de la différentielle $d z$ , il s'ensuit :

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d t}

Dans cette équation, $z$ est dérivée par rapport à toutes les variables. Par conséquent, l'expression $\frac{d z}{d t}$ est la dérivée totale de la fonction $z = f (x, y)$ .

Les termes $\frac{d x}{d t}$ et $\frac{d y}{d t}$ ne doivent pas être écrits avec le symbole $\partial$ puisque $x$ et $y$ ne dépendent que de $t$ et non d'autres variables ; les dérivées partielles ne sont donc pas nécessaires à ce stade.

Tâche 2 : dérivés totaux ↓

Trouvez la dérivée totale de

z = x^{2} + 3 x y + 5 y^{2}

avec $x = sin t$ et $y = cos t$ .

Là encore, vous pouvez trouver les solutions sur cette page.

Tâche 3 : Dérivée partielle et différentielle totale d'un vecteur ↓

La règle de calcul de la différentielle s'applique non seulement aux fonctions scalaires, mais aussi aux vecteurs de la même manière. Nous considérons le vecteur $\vec{A} (x, y, z)$ :