5. Exercises

2. Rayonnement thermique

Supplément 2.1: Absorption, émission et réflexion

Tâche : Du déséquilibre à l'équilibre

Deux corps en équilibre thermique dans une cavité isolée de l'environnement. Les flèches représentent les puissances de rayonnement. Les lettres é, a et r représentent le rayonnement émis, absorbé et réfléchi du corps blanc.

Indiquez, comme le montre le graphique, dans quelle mesure la durée des flèches changerait dans les cas suivants :

le corps noir a une température plus élevée que le corps blanc
le corps blanc a une température plus élevée que le corps noir.

Questions :

Comment la longueur des flèches change-t-elle pour le rayonnement absorbé et le rayonnement émis des deux corps ?
Quelle est la longueur des flèches pour le rayonnement entrant comme pour le rayonnement réfléchi ?
Reconnaître comment la tendance à l'approximation des températures peut apparaître.

Réponse:

La situation est assez complexe et déroutante à première vue. Les croquis des bilans radiatifs sont très utiles pour comprendre. Quelques conseils utiles sont donnés dans ce qui suit. Ils se concentrent sur les conditions initiales de deux corps en contact, où l'un des corps a une température plus élevée et l'autre a la température de l'équilibre initial.

a) le corps noir a une température plus élevée que le corps blanc.

1 : Corps noir : l'émission et l'absorption sont plus fortes. Corps blanc : l'émission reste la même, l'absorption est plus forte.
2 : Corps noir : l'incidence et la réflexion sont plus fortes. Corps blanc : l'incidence et la réflexion sont plus fortes.
3 : L'émission du corps blanc reste la même, toutes les autres quantités augmentent ; l'équilibre du corps blanc est plus fort que celui du corps noir.

b) le corps blanc a une température plus élevée que le corps noir.

1 : Corps noir : l'émission reste la même, l'absorption est plus forte. Corps blanc : l'émission et l'absorption sont plus fortes.
2 : Corps noir : l'incidence et la réflexion sont plus fortes. Corps blanc : l'incidence et la réflexion sont plus fortes.
3 : l'émission du corps blanc reste la même, toutes les autres quantités augmentent ; l'équilibre du corps noir est plus fort que celui du corps blanc.

Supplement 2.6: Differentials and Derivatives

Task 1: partal derivatives and differentials

Please calculate the partial derivatives and the total differential of the following functions:

z = x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3}

z = x sin y - y sin x

Answers:

z = x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3}

The partial derivatives:

\frac{\partial z}{\partial x} = 3 x^{2} y + 2 x y^{2} + y^{3}

\frac{\partial z}{\partial y} = x^{3} + 2 x^{2} y + 3 x y^{2}

The differential:

d z = (3 x^{2} y + 2 x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y + 3 x y^{2}) d y

z = x sin y - y sin x

The partial derivatives:

\frac{\partial z}{\partial x} = sin y - y cos x

\frac{\partial z}{\partial y} = x cos y - sin x

The differential:

d z = (sin y - y cos x) d x + (x cos y - sin x) d y

Task 2: total derivatives

Find the total derivative of

z = x^{2} + 3 x y + 5 y^{2}

where $x = sin t$ and $y = cos t$ .

Answer:

The partial derivatives:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x + 3 y

\frac{\partial z}{\partial y} = 3 x + 10 y

Derivatives of the variables:

\frac{d x}{d t} = cos t

\frac{d y}{d t} = - sin t

The total differential:

\frac{d z}{d t} = (2 sin t + 3 cos t) cos t - (3 sin t + 10 cos t) sin t

Exercise 3: Partial derivative and total differential of a vector

The calculation rule for the differential applies not only to scalar functions, but also to vectors in the same way. We consider the vector $\vec{A} (x, y, z)$ :

d \vec{A} = \frac{\partial \vec{A}}{\partial x} d x + \frac{\partial \vec{A}}{\partial y} d y + \frac{\partial \vec{A}}{\partial z} d z

Please calculate the partial derivatives and the total differential of

\vec{A} = (x^{2} sin y, z^{2} cos y, - x y^{2})

Solution:

Based on the definition of the total differential:

\begin{array}{l} d \vec{A} = \frac{\partial \vec{A}}{\partial x} d x + \frac{\partial \vec{A}}{\partial y} d y + \frac{\partial \vec{A}}{\partial z} d z \\ = (2 x sin y,0, - y^{2}) d x + (x^{2} cos y, - z^{2} sin y, - 2 x y) d y \\ + (0,2 z cos y,0) d z \\ = (2 x sin y d x + x^{2} cos y d y, - z^{2} sin y d y 2 z cos y d z, - y^{2} d x - 2 x y d y) \end{array}

Alternatively, you can also calculate the total differential of each individual term of $\vec{A}$ directly:

\begin{matrix} d \vec{A} = (d (x^{2} sin y), d (z^{2} cos y), d (- x y^{2})) \\ = (2 x sin y d x + x^{2} cos y d y, - z^{2} sin y d y 2 z cos y d z, - y^{2} d x - 2 x y d y) \end{matrix}

Task 4: Temperature in space and time

The temperature may be given by the function

T = T_{o} + a x - b x y^{2} + c y z^{2} + d z t

with:
$T_{o}$ =20°C
$a$ =0.3°C/m
$b$ =0.02°C/m³
$c$ =0.1°C/m³
$d$ =0.01°C/(m·s)

a) What is the temperature like at the location $\vec{r}' = (x', y', z')$ = (10 m, 5 m, 2 m) at the time $t'$ = 100 s.

b) Calculate the partial derivatives of the temperature. What values do you obtain for the location $\vec{r}'$ and at the time $t'$ ?

c) Calculate the temperature difference $d T$ for the displacement
$d \vec{r} = (d x, d y, d z)$ = (1 m, 0.5 m, 0.5 m) with the time $d t$ = 2 s later.
(We treat the differentials for approximation as finite quantities)

d) What values does the temperature $T (\vec{r}' + d \vec{r}, t' + d t)$ take?

Answers:

a) $T (\vec{r}')$ = 22°C

b)	$\frac{\partial T}{\partial x} = a - b y$	${(\frac{\partial T}{\partial x})}_{\vec{r}', t'}$ = 0.2°C/m
	$\frac{\partial T}{\partial y} = - 2 b x y + c z^{2}$	${(\frac{\partial T}{\partial y})}_{\vec{r}', t'}$ = 0.4°C/m
	$\frac{\partial T}{\partial z} = 2 c y z + d t$	${(\frac{\partial T}{\partial z})}_{\vec{r}', t'}$ = 3°C/m
	$\frac{\partial T}{\partial t} = d z$	${(\frac{\partial T}{\partial t})}_{\vec{r}', t'}$ = 0.02°C/m

c) $d T$ = 1.94°C

d) $T (\vec{r}' + d \vec{r}, t' + d t)$ = 21.94°C

Task 5: Nabla operator and velocity vector

The Nabla operator can be linked to a vector, for example the velocity vector.

a) Depict the terms $\nabla \cdot \vec{v}$ and $\nabla \times \vec{v}$ ` in Cartesian coordinates. Are they scalars or vectors?

b) What is the meaning of these terms? What does the term $\vec{v} \cdot \nabla$ mean?

Answers:

\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}

\nabla \times \vec{v} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u & v & w \end{matrix} | = ((\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z}), (\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}), (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}))

with the unit vectors $\vec{i}$ , $\vec{j}$ and $\vec{k}$ in directions of the coordinate axes $x$ , $y$ and $z$ .

$\nabla \cdot \vec{v}$ is a scalar, $\nabla \times \vec{v}$ is a vector.

The term $\nabla \cdot \vec{v}$ is also called the divergence of the velocity and refers to sources or sinks of velocity. A positive balance denotes a source of velocity in the region, as given in an expanding gas for example. A negative balance depicts a compression of a gas. Keyword for further reading: Gauss' theorem.

The term $\nabla \times \vec{v}$ is also called the rotation of the velocity and refers to its vorticity. It is non-zero in the presence of shear flows, eddies and turbulences. Keyword for further reading: Stokes' theorem.

$\vec{v} \cdot \nabla$ is the multiplication of the velocity vector and the Nabla operator. Standing alone it does not have any meaning so far, The differential operator must be applied to another quantity, a scalar or a vector. See Supplement 2.6, page 3.