Supplement 3.2: Polarisatie van elektromagnetische golven: Jones vectoren en Jones matrices (1/2)

Polarisatie kan eenvoudiger en duidelijker worden weergegeven als de y en z ccomponenten van het elektrische veld worden beschreven door vectorelementen. Interactie van licht en materie verandert bijvoorbeeld de intensiteit en polarisatie door reflectie of breking. Deze veranderingen kunnen eenvoudig worden beschreven door een matrix die interageert met de vector en de waarden ervan verandert. Deze procedure is ontwikkeld door R. Clark Jones en daarom worden de veldvectoren en matrices Jones vectoren en Jones matrices genoemd.

Veldcomponenten als kolommatrix: Jones vectoren

Voor de eenvoud en duidelijkheid is een beschrijving van de golf door middel van een complexe exponentiële functie in plaats van een sinusfunctie nuttig:

\vec{E} (x, t) = {\vec{E}}_{o} e^{i (k x - ω t)}

Complexe exponentiële functies ↓

De complexe exponentiële functie is een voorbeeld van complexe functies die bestaan uit een reëel deel en een imaginair deel: $z = ℜ (z) + i ℑ (z)$ . $ℜ$ geeft het reële deel aan, $ℑ$ het imaginaire deel en $i = \sqrt{- 1}$ is de imaginaire eenheid.

Voor de complexe exponentiëële functie gelden de volgende Euler formules:

e^{\pm i α} = cos α \pm i sin α

Het voordeel van de complexe exponentiële functie ten opzichte van de sinus- en cosinusfunctie ligt in het feit dat ze niet veranderen bij differentiëren of integreren, wat de berekeningen vergemakkelijkt bij bijvoorbeeld het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

Uit de formules van Euler kunnen verschillende relaties worden afgeleid. Deze worden op de volgende pagina's gebruikt:

e^{i π} = - 1 e^{i π / 2} = i e^{- i π / 2} = - i

Dit is een vlakke golf die zich in x-richting voortplant, hoewel de volgende voorstelling ook kan worden gebruikt voor golven met een radiale voortplanting en andere. We schrijven het elektrisch veld als een kolomvector met de componenten in het y,z-vlak. Dit is de Jones Vector:

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{y} \\ E_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{y, o} e^{i (k x - ω t)} \\ E_{z, o} e^{i (k x - ω t + φ)} \end{matrix})

Bij onderzoek naar polarisatie zijn vaak alleen de amplitudes en fasen van de golfcomponenten van belang in plaats van de spectrale eigenschappen van het licht. In dat geval kan men de exponentiële functie die de monochromatische golf beschrijft weglaten en in plaats daarvan schrijven:

(\begin{matrix} E_{y, o} e^{i φ_{y}} \\ E_{z, o} e^{i φ_{z}} \end{matrix})

Men kan het nog eenvoudiger maken en de intensiteit gelijkstellen aan 1 als alleen het type polarisatie van belang is. De intensiteit is echter evenredig met de tweede macht van de veldsterkte, zoals is aangetoond in het hoofdstuk over elektromagnetische golven. Het resultaat van $E_{y}^{2} + E_{z}^{2}$ s dus 1. Dit verklaart de uitdrukkingen in de volgende tabel van Jonesvectoren voor verschillende polarisaties.

Jones vector	Jones vector voor intensiteit=1	TType polarisatie
$(\begin{matrix} E_{y, o} e^{i φ_{y}} \\ 0 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$	linear langs de y-as
$(\begin{matrix} 0 \\ E_{z, o} e^{i φ_{z}} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$	linear langs de z-as
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	lineair diagonaal in het eerste en derde kwadrant van het y,z-vlak
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$	lineair diagonaal in het tweede en vierde kwadrant van het y,z-vlak
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ - i \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - i \end{matrix})$	rechts cirkelvormig
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$	links cirkelvormig