Supplement 3.3: Polarisatie van elektromagnetische golven: Stokes vectoren en Müller matrices (1/2)

Naast de methode van R. Clark Jones, is er nog een andere matrijsbewerking ontwikkeld. Deze gebruikt niet de veldcomponenten van elektromagnetische golven, maar hun tweede macht. Vier vierkante uitdrukkingen beschrijven de polarisatietoestand, de polarisatiegraad en de lichtintensiteit. Ze gaan terug op George Gabriel Stokes, waarvoor ze Stokes parameters worden genoemd. Vergelijkbaar met de twee componenten Jones vector vormen ze de vier componenten Stokes vector. Interacties van licht worden dus beschreven door 4×4 matrices, die zijn geïntroduceerd door Hans Müller en daarom Müller Matrices worden genoemd.

Intensiteitscomponenten als kolommatrix: Stokes vectoren

Opnieuw gaan we uit van een elektrische veldvector van een elektromagnetische golf die zich in x-richting voortplant:

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{y} \\ E_{z} \end{matrix})

De veldcomponenten moeten weer complexe functies zijn. Hun tweede machten kunnen worden berekend door de complexe componenten te vermenigvuldigen met de geconjugeerde complexe componenten. Stokes definieerde vier kwadratische termen, de zogenaamde Stokes parameters,

\begin{array}{l} I_{y} = E_{y} E_{y}^{*} \\ I_{z} = E_{z} E_{z}^{*} \\ U = E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*} \\ V = i (E_{y} E_{z}^{*} - E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

die de elementen vormen van de Stokes vector:

\vec{S} = (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Kwadraat van complexe variabelen ↓

Complexe grootheden worden niet eenvoudig gekwadrateerd. Hun tweede machten worden eerder berekend als een product van de complexe grootheid en haar geconjugeerde complexe grootheid. De geconjugeerde complexe grootheid wordt aangeduid met het symbool ∗ en vloeit voort uit de complexe grootheid wanneer het teken van de imaginaire eenheid $i = \sqrt{- 1}$ wordt veranderd. Als

z = x + i y

een complexe grootheid is met het reële deel $x$ en het imaginaire deel $y$ , is de bijbehorende geconjugeerde complexe grootheid

z^{*} = x - i y

Het kwadraat van $z$ wordt:

z z^{*} = x^{2}

zoals gemakkelijk kan worden aangetoond door uit te breiden onder beschouwing van $i^{2} = - 1$ .

De parameternamen leiden tot de veronderstelling dat $I_{y}$ en $I_{z}$ de intensiteiten zijn van het licht dat in y- en z-richting oscilleert. De betekenis van $U$ en $V$ is niet duidelijk. Enkele voorbeelden van hun rol staan in de rechterkolom.

Een alternatieve definitie ↓

In de literatuur wordt vaak een andere definitie van de eerste twee Stokes parameters gebruikt:

\begin{array}{l} I = E_{y} E_{y}^{*} + E_{z} E_{z}^{*} = I_{y} + I_{z} \\ Q = E_{y} E_{y}^{*} - E_{z} E_{z}^{*} = I_{y} - I_{z} \\ U = E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*} \\ V = i (E_{y} E_{z}^{*} - E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

Volgens dat principe zijn de Müller matrices verschillend opgebouwd. Dit moet je in gedachten houden bij het zoeken naar matrices in de literatuur.

We gaan weer uit van een vlakke monochromatische golf zonder enige beperking van de algemeenheid.

E_{y} = E_{y, o} e^{i (k x - ω t)} E_{z} = E_{z, o} e^{i (k x - ω t + φ)}

De volgende Stokes parameters worden onthuld:

\begin{array}{l} I_{y} = E_{y,0}^{2} \\ I_{z} = E_{z,0}^{2} \\ U = 2 E_{y,0} E_{z,0} cos φ \\ V = - 2 E_{y,0} E_{z,0} sin φ \end{array}

Hierbij volgen de Stokes vectoren (vermeld in de tabel) voor de belangrijkste soorten polarisatie. De intensiteit van het licht is genormaliseerd naar 1. De term $ℓ$ staat voor lineaire polarisatie met een index die de hoek $α$ ten opzichte van de y -as aangeeft. $c$ staat voor circulaire polarisatie en $r$ staat voor ongepolariseerd (natuurlijk) licht. De pijlen boven de vectoren zijn voor het gemak weggelaten.

Stokes vector	Type polarisatie
$ℓ_{0} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	Lineair langs de y-as
$ℓ_{90} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	Lineair langs de z-as
$ℓ_{45} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$	Lineair diagonaal in het eerste en derde kwadrant van het y,z-vlak.
$ℓ_{135} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$	Lineair diagonaal in het tweede en vierde kwadrant van het y,z-vlak.
$c_{r} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$	rechts rond
$c_{l} = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$	links rond
$r = (\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$	unpolarised

Uiteraard gelden de volgende eigenschappen:

De intensiteit van het licht is $I_{y} + I_{z}$

\sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + U^{2} + V^{2}} = I_{y} + I_{z} = 1

Voor ongepolariseerd licht:
$I_{y} - I_{z} = U = V = 0$
Voor de reeds gedefinieerde polarisatiegraad
$p$ = (Intensiteit van het gepolariseerde deel)/(Totale intensiteit)
de volgende termijn zal volgen:
$p = \frac{\sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + U^{2} + V^{2}}}{I_{y} + I_{z}}$

Stokes vektors gebruiken kwadraten van de elektrische veldsterkte. Als gevolg van

E E^{*} = E_{o} e^{i (k x - ω t + φ)} E_{o} e^{- i (k x - ω t + φ)} = E_{o}^{2}

gaat de fase-informatie en ook de informatie over de spectrale eigenschappen verloren door kwadrateren. Lees meer in de paragraaf over elektromagnetische golven in hoofdstuk 1.

Stokes vectoren zijn daarom niet geschikt voor de analyse van coherente effecten. In tegenstelling tot Jonesvectoren kan ook ongepolariseerd licht worden beschreven en kan de mate van polarisatie in gedeeltelijk gepolariseerd licht worden bepaald.

Inzicht in Spectra van de Aarde

Supplement 3.3: Polarisatie van elektromagnetische golven: Stokes vectoren en Müller matrices (1/2)

Intensiteitscomponenten als kolommatrix: Stokes vectoren