Supplement 4.6: De verstrooiingsmatrix (1/2)

Verstrooiing van licht wordt gedefinieerd als de verandering van de voortplantingsrichting van het licht nadat het deeltjes raakt. Dit is afhankelijk van een groot aantal parameters. Uit welk materiaal bestaan de deeltjes? Wat is de brekingsindex van het materiaal? Absorbeert het licht of is het transparant? De structuur, vorm en grootte van de deeltjes zijn belangrijk, evenals hun geordende of statistisch willekeurige positie. Ook de golflengte van het licht en de polarisatie zijn van belang.

Deze eigenschappen bepalen de intensiteit van de verstrooiing en de hoekverdeling ervan. Daarnaast zijn de eigenschappen van het medium (lucht, water, ...) waarin de deeltjes zweven essentieel: is het medium homogeen en isotroop of heeft het ruimtelijke structuren zoals kristallen?

Voor een goed begrip van lichtverstrooiing is het voldoende om uit te gaan van vereenvoudigde omstandigheden. We gaan daarom uit van een isotroop medium en dat de deeltjes willekeurig verdeeld zijn in de ruimte. Als tweede stap voegen we de aanname van bolvormige deeltjes toe. Zo is het berekenen van de verstrooiing van licht niet al te ingewikkeld.

Verstrooiing door willekeurig verdeelde deeltjes

Intensiteiten en polarisatie van het verstrooide licht worden weergegeven in de verstrooiingsmatrix Müller Matrices die in de vorige sectie zijn beschreven. Ongeacht vereenvoudigende aannames bestaat de matrix uit 4×4 onafhankelijke elementen $a_{11} ... a_{44}$ :

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{S}' = S \cdot \vec{S}

De Stokesvector $\vec{S}$ geeft het verlichtende licht aan, terwijl de vector $\vec{S}'$ het verstrooide licht aangeeft. Het symbool $S$ zonder pijl is de verstrooiingsmatrix.

Met alle 16 elementen erbij zou het theoretische of experimentele onderzoek van een verstrooiingsmatrix nogal ingewikkeld zijn. Francis Perrin toonde aan dat er slechts zes elementen overblijven als de deeltjes willekeurig verdeeld zijn in een isotroop medium:

S = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{12} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & - a_{34} & a_{44} \end{matrix})

Als we deeltjes van elke vorm toestaan, kan hun belichting met volledig gepolariseerd licht resulteren in gedeeltelijk gedepolariseerd verstrooid licht. Het element $a_{12}$ genereert gedepolariseerd verstrooid licht zoals te zien is in het voorbeeld van belichting van deeltjes met lineair gepolariseerd licht langs de y-coördinaat:

(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & - a_{34} & a_{44} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = S \cdot ℓ_{o}

Het verstrooide licht kan worden opgesplitst in een gepolariseerde en een ongepolariseerde component:

(\begin{matrix} a_{11} \\ a_{12} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} - a_{12} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{12} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} I_{y, p} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} I_{y, u} \\ I_{z, u} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

waarbij de indices p en u staan voor het gepolariseerde respectievelijk ongepolariseerde deel. Voor het ongepolariseerde deel moet het noodzakelijk waar zijn: $I_{y, u} = I_{z, u}$ , en $U = V = 0$ .

Vergelijkingen ↓

Verstrooiing door bolvormige deeltjes

Door de sferische symmetrie, die geen enkele voorkeursrichting toelaat, is er geen polarisatie of depolarisatie van het verstrooiende licht mogelijk. De verstrooiingsmatrix wordt:

S = (\begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & - a_{34} & a_{33} \end{matrix})

In dit geval zijn er slechts drie variabele elementen, omdat:

a_{11} a_{22} = a_{33}^{2} + a_{34}^{2}

Dit komt overeen met de verklaring dat het verstrooiende licht volledig gepolariseerd is (de Stokesvector van volledig gepolariseerd licht heeft ook maar drie onafhankelijke Stokesparameters). De geldigheid van de relatie kan worden berekend met behulp van de amplitude-elementen $a_{1}$ en $a_{2}$ en de Jones Matrix (de amplitude-transformatie matrix):

\begin{array}{l} a_{11} = a_{1} a_{1} * \\ a_{22} = a_{2} a_{2} * \\ a_{33} = (a_{1} a_{2} * + a_{2} a_{1} *) / 2 \\ a_{34} = i (a_{1} a_{2} * - a_{2} a_{1} *) / 2 \end{array}

( $i$ staat voor het complexe getal $\sqrt{- 1}$ en $*$ geeft het geconjugeerde complex van elke complexe grootheid aan.

Verstrooiing door deeltjes van verschillende grootte ↓

Als de deeltjes echter van verschillende grootte zijn, geldt dat:

a_{11} a_{22} \geq a_{33}^{2} + a_{34}^{2}

het verstrooide licht slechts gedeeltelijk gepolariseerd is wanneer het verlicht wordt met gepolariseerd licht. Een uitzondering vormen de verstrooiingshoeken van 0° en 180°, waarbij het verstrooide licht volledig gepolariseerd blijft vanwege de axiale symmetrie.

De Jones matrix voor lichtverstrooiing door sferische deeltjes is een diagonale matrix omdat de elementen $a_{3}$ en $a_{4}$ gelijk zijn aan nul:

(\begin{matrix} a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2} \end{matrix})

Elektromagnetische theorieën over lichtverstrooiing zijn gericht op het berekenen van de amplitudefuncties

S_{1} = k a_{1}

and

S_{2} = k a_{2}

die verbonden zijn met de elementen $a_{1}$ en $a_{2}$ van de Jones matrix via het golfgetal $k = 2 π / λ$ respectievelijk de golflengte $λ$ .

Kubische uitdrukkingen van de amplitudefuncties resulteren in de intensiteitsfuncties $i_{1...4}$ :

\begin{array}{l} i_{1} = S_{1} S_{1} * \\ i_{2} = S_{2} S_{2} * \\ i_{3} = (S_{1} S_{2} * + S_{2} S_{1} *) / 2 \\ i_{4} = i (S_{1} S_{2} * - S_{2} S_{1} *) / 2 \end{array}

Door de intensiteitsfuncties op te nemen in de verstrooiingsmatrix van sferische deeltjes, wordt deze laatste:

S = \frac{1}{k^{2}} (\begin{matrix} i_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i_{3} & i_{4} \\ 0 & 0 & - i_{4} & i_{3} \end{matrix})

Het bevat slechts drie onafhankelijke elementen, aangezien:

i_{1} i_{2} = i_{3}^{2} + i_{4}^{2}

Inzicht in Spectra van de Aarde

Supplement 4.6: De verstrooiingsmatrix (1/2)

Verstrooiing door willekeurig verdeelde deeltjes

Verstrooiing door bolvormige deeltjes