Supplément 1.2: Résolution des équations de Maxwell pour les ondes électromagnétiques    (1/3)

Les équations d'ondes

Dans le supplément 1.1 , les équations de Maxwell étaient écrites comme suit :

∇⋅ E → = ρ ε            ∇⋅ B → =0
∇× E → =− ∂ B → ∂t            ∇× B → =μ j → +εμ ∂ E → ∂t

Dans le vide, il n'y a pas de charges et de courants électriques, et donc pas de densités de charge ρ et de courant j → , et les propriétés électriques et magnétiques relatives de la matière εr et μr sont égales à l'unité :

ρ=0            j → =0            εr=μr=1

Les équations de Maxwell se réduisent alors à la forme très symétrique :

∇⋅ E → =0            ∇⋅ B → =0
∇× E → =− ∂ B → ∂t            ∇× B → = ε o μ o ∂ E → ∂t

En prenant le rotationnel de la troisième équation et en échangeant la dérivée temporelle et l'opérateur ∇ (ce qui est autorisé pour les champs continus),

∇×( ∇× E → )=−∇× ∂ B → ∂t =− ∂ ∂t ( ∇× B → )

et en substituant dans la quatrième équation, on obtient :

∇×( ∇× E → )=− ε o μ o ∂ 2 E → ∂ t 2
Équations ↓

Comme le montre l'analyse vectorielle, la relation suivante s'applique :

∇×( ∇× E → )=∇( ∇⋅ E → )−( ∇⋅∇ ) E →

Avec la première équation de Maxwell, ∇⋅ E → =0 , et en introduisant l'opérateur de Laplace (ou : opérateur delta) Δ=∇⋅∇ qui est la dérivée spatiale du second ordre, il s'ensuit pour le champ électrique :

Δ E → = ε o μ o ∂ 2 E → ∂ t 2

De la même manière, en prenant la courbure de la quatrième équation, puis en la substituant à la troisième et en considérant la deuxième, on obtient une équation analogue pour le champ magnétique :

Δ B → = ε o μ o ∂ 2 B → ∂ t 2

Ces deux équations combinent les deuxièmes dérivées spatiales et temporelles du champ électrique et du champ magnétique, respectivement. Elles décrivent les propriétés de ces champs dans le vide.

En d'autres termes, les champs électriques et magnétiques subsistent en l'absence de charges et de courants électriques si leur comportement spatial et temporel correspond à ces équations. Nous verrons plus loin qu'il en va de même pour les champs qui caractérisent les ondes électromagnétiques. C'est pourquoi les deux équations sont appelées équations d'onde.

Question 1: L'opérateur de Laplace ↓