Supplement 1.2: De vergelijkingen van Maxwell oplossen voor elektromagnetische golven    (1/3)

De golfvergelijkingen

In supplement 1.1 werden de vergelijkingen van Maxwell als volgt geschreven:

In vacuüm zijn er geen elektrische ladingen en stromen en dus geen ladingsdichtheden ρ en stroomdichtheden $\overrightarrow{j}$, en de relatieve elektrische en magnetische eigenschappen van materie ε_r en μ_r zijn eenheid:

Dan reduceren de vergelijkingen van Maxwell tot de zeer symmetrische vorm:

Door de kromming van de derde vergelijking te nemen en de tijdsafgeleide en ∇-operator om te wisselen (wat bij continue velden toegelaten is),

aen te vervangen in de vierde vergelijking krijgt men:

 

Zoals aangetoond in de vectoranalyse, geldt de volgende relatie:

Met de eerste vergelijking van Maxwell, $\nabla \cdot \overrightarrow{E}=0$, en door de Laplace-operator (of delta-operator) $\Delta =\nabla \cdot \nabla$ in te brengen, wat de ruimtelijke afgeleide van de tweede orde is, volgt voor het elektrisch veld:

Door op dezelfde wijze de kromming van de vierde vergelijking te gebruiken en deze dan in de derde t e substitueren en de tweede te bekijken, volgt een analoge vergelijking voor het magnetisch veld:

Beide vergelijkingen combineren de tweede ruimtelijke en temporele afgeleiden van het elektrisch en magnetisch veld respectievelijk. Ze beschrijven de eigenschappen van deze veldgrootheden in vacuüm.

Met andere woorden elektrische en magnetische velden blijven bestaan in afwezigheid van elektrische ladingen en stromen, als hun ruimtelijk en temporeel gedrag met deze vergelijkingen overeenkomt. We zullen hieronder zien dat dit geldt bij de velden die elektromagnetische golven karakteriseren. Daarom worden beide vergelijkingen golfvergelijkingen genoemd.