Ergänzung 1.4: Energiedichte und Intensität elektromagnetischer Wellen

Die Feldenergie

Die Energiedichte $U$ einer Welle ist als ihre Energie pro Einheitsvolumen definiert und wird in J/m³ oder in Ws/m³ angegeben.

Eine elektromagnetische Welle ist durch eine Energiedichte $U_{e l}$ des elektrischen Felds $\vec{E}$ und eine Energiedichte $U_{m a g}$ des Magnetfelds $\vec{B}$ charakterisiert, für die gilt:

U_{e l} = \frac{ε}{2} E^{2}

U_{m a g} = \frac{1}{2 μ} B^{2}

mit der Permittivität ε und der Permeabilität μ der Materie. Auf Seite 3 der Ergänzung 1.2 fanden wir die folgende Beziehung zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld einer elektromagnetischen Welle:

\vec{B} = \frac{k}{ω} \vec{a} \times \vec{E}

wobei ω und k die Kreisfrequenz und die Wellenzahl sind, und $\vec{a}$ der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung der Welle ist. Das Verhältnis $ω / k$ ist gleich der Phasengeschwindigkeit c der Welle.

Quadriert man die Gleichung, und berücksichtigt die Maxwell-Beziehung $c = 1 / \sqrt{ε μ}$ (Ergänzung 1.3) zwischen der Phasengeschwindigkeit und der Permittivität und Permeabilität, so folgt:

B^{2} = \frac{k^{2}}{ω^{2}} E^{2} = \frac{1}{c^{2}} E^{2} = ε μ E^{2}

Daher gilt: $U_{e l} = U_{m a g}$ ,

die elektrischen und die magnetischen Feldenergien elektromagnetischer Wellen sind also identisch, und die Gesamtenergiedichte wird:

U = U_{e l} + U_{m a g} = ε E^{2} = \frac{1}{μ} B^{2} = \sqrt{\frac{ε}{μ}} E B

Die Intensität

Der Energiefluss einer Welle ist gleich der Energie der Welle pro Einheitsfläche und Zeiteinheit, er wird in der Einheit W/m² angegeben.

Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Der Energiefluss kann daher aus dem Produkt von c mit der Energiedichte bestimmt werden:

c (U_{e l} + U_{m a g}) = c \sqrt{\frac{ε}{μ}} E B = \frac{1}{μ} E B

Man kann dieser skalaren Größe eine Orientierung in Richtung der Wellenausbreitung geben, indem EB durch $\vec{E} \times \vec{B}$ ersetzt wird. So entsteht ein Vektor $\vec{S}$ , der als Poynting-Vektor bezeichnet wird:

\vec{S} = \frac{1}{μ} \vec{E} \times \vec{B}

Eine ebene monochromatische Welle mit

\vec{E} = {\vec{E}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

\vec{B} = {\vec{B}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

ergibt: $\vec{S} = \frac{1}{μ} {\vec{E}}_{o} \times {\vec{B}}_{o} {sin}^{2} (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)$

Es ist das zeitliche Mittel des Poynting-Vektors, was vom Auge oder von einem Fotoempfänger registriert wird. Wir benutzen spitze Klammern links und rechts $⟨ ... ⟩$ als Symbol für die zeitliche Mittelung.

Der sin²-Term wird: $⟨ {sin}^{2} (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t) ⟩ = \frac{1}{2}$

Daher:

⟨ \vec{S} ⟩ = \frac{1}{μ} ⟨ \vec{E} \times \vec{B} ⟩ = \frac{1}{2 μ} ({\vec{E}}_{o} \times {\vec{B}}_{o}) = \frac{c ε}{2} E_{o}^{2} \vec{a} = \frac{c}{2 μ} B_{o}^{2} \vec{a}

Werte für den Betrag des Poynting-Vektors

⟨ S ⟩ = \frac{c ε}{2} E_{o}^{2} = \frac{c}{2 μ} B_{o}^{2}

werden in W/m² angegeben. In der physikalischen Photometrie (auch als Radiometrie bezeichnet) entspricht dies der Bestrahlungsstärke $E_{r a d}$ , die in den gleichen Einheiten angegeben wird.

Aufgabe 1: Elektrisches und magnetisches Feld der Sonnenstrahlung ↓

Spektren der Erde

Ergänzung 1.4: Energiedichte und Intensität elektromagnetischer Wellen

Die Feldenergie

Die Intensität