Ergänzung 1.7: Strahlungsgrößen und Radiometrie (2/4)

Strahlungsenergiedichte (engl.: radiant energy density)

Die Strahlungsenergiedichte ist die Volumendichte der Energie im Raum:

U = \frac{d Q}{d V}

Formelzeichen: $U$
Maßeinheit: $[U] = \frac{J}{m^{3}}$ oder $\frac{Ws}{m^{3}}$ .

Vorkommen der Strahlungsenergiedichte in dieser Lerneinheit:

Strahlstärke (engl.: radiant intensity)

Die Strahlstärke bestimmt sich durch die Richtungsabhängigkeit der Strahlungsleistung im Raum oder auch durch Richtungscharakteristik einer Strahlungsquelle. Sie gibt die in einem Einheitsraumwinkel vorhandene Strahlungsleistung an.

Formelzeichen: $I$
Maßeinheit: Watt durch Steradiant, $[I] = \frac{W}{sr}$

Der Zusammenhang mit der Strahlungsleistung ist:

I = \frac{Φ}{Ω}

Ein Raumwinkel Ω in einer Halbkugel. Er ist gleich dem Verhältnis von Kugelsegmentfläche a zum Quadrat des Kugelradius R: Ω = a/R². Die Kugelsegmentfläche ist mit einem Kreis als Randlinie dargestellt; es gibt jedoch keine Einschränkungen für die Form von Raumwinkeln.

Man benennt Raumwinkelwerte mit der dimensionslosen Einheit Steradiant, mit dem Formelzeichen sr - nicht zu verwechseln mit ebenen Winkeln mit der Einheit Radiant und dem Formelzeichen rad. Eine Darstellung zu ebenen Winkeln und Raumwinkeln findet sich in der Lerneinheit Fernerkundung mit Lasern, der die Abbildungen dieser Seite entnommen sind.

Da die Oberfläche einer Kugel mit Radius R den Wert $4 π R^{2}$ hat, entspricht der gesamte Raum um den Kugelmittelpunkt dem Raumwinkel $Ω = 4 π sr$ . Der oben genannte Einheitsraumwinkel $Ω = 1 sr$ ist daher recht groß; Raumwinkel können jedoch herunter- oder hochskaliert werden.

Für den Zusammenhang zwischen Strahlstärke und Strahlungsleistung eines in alle Richtungen gleich hellen (isotropen) Strahlers gilt daher:

I = \frac{Φ}{4 π}

bzw.

Φ = 4 π I

Beispiel: Effizienz eines Linsenkollimators ↓

Das Licht einer sehr kleinen Lampe ("Punktlichtquelle"), die in alle Richtungen gleich hell (isotrop) emittiert, soll mit einer Linse mit f = 100 mm Brennweite und D = 50 mm Durchmesser in ein möglichst paralleles Strahlbündel abgebildet werden. Hierfür wird die Linse im Abstand der Brennweite von der Quelle aufgestellt. Welcher Anteil der Gesamtstrahlung findet sich in dem parallelen Lichtbündel?

Der von der Linse erfasste Raumwinkel ist

Ω = \frac{a}{R^{2}} = \frac{π {(D / 2)}^{2}}{f^{2}} = 0,196 sr

Die Lampe strahlt in den ganzen Raum mit dem Raumwinkel $4 π \approx 12,6 sr$ . Die Ausbeute ist somit nur 15,9·10^-3 oder 1,59 Prozent.

Allerdings enthält die Rechnung einen Fehler: die Fläche $a$ wird als Kreisfläche angenommen. Sie ist aber eine gekrümmte Kugelsegmentfläche (oder: ein Kugelabschnitt), deren Oberfläche diejenige einer ebenen Kreisfläche übertrifft. Die Situation stellt sich wie in der folgenden Grafik dar.

Ein Kollimator aus Lampe und Linse. Die Lampe strahlt tatsächlich nicht isotrop in alle Richtungen, aber das spielt hier keine Rolle. Die plankonvexe Linse mit dem Durchmesser D ist blau dargestellt, sie steht im Abstand R=f von der Lampe.

Die plane Seite der Linse mit der Fläche $π {(D / 2)}^{2}$ weist nach unten. Die konvexe Seite der Linse weist nach oben, h sei die Dicke der Linse. Optisch betrachtet ist die Orientierung so richtig, da sich die Brechung auf beide Glasoberflächen verteilt. Andernfalls müsste die konvexe Seite der Linse die gesamte Brechung des Lampenlichts leisten, was größere Abbildungsfehler hervorruft. Es wird in der Grafik weiter angenommen, dass die konvexe Fläche der Linse mit der Kugelsegmentfläche übereinstimmt. Das ist tatsächlich nicht der Fall: eine solche Plankonvexlinse hätte etwa 52 mm Krümmungsradius, d.h. nur etwa die Hälfte des Kugelradius. Die Fläche M des Mantels des Kugelsegments, den wir stattdessen nutzen, ist

M = 2 π R h

siehe z.B. Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Kapitel Geometrie, Abschnitt Stereometrie. Für das vom Öffnungswinkel φ aufgespannte rechtwinklige Dreieck gilt:

{(R - h)}^{2} + {(\frac{D}{2})}^{2} = R^{2}

d.h.:

(R - h) = \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}}

Andererseits ist $h = R - (R - h) = R - \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}}$ ,

womit die unbekannte Größe h eliminiert ist. Es folgt für die Kugelsegmentfläche:

M = 2 π R (R - \sqrt{R^{2} - {(D / 2)}^{2}})

und für den korrigierten Raumwinkel:

Ω = \frac{a}{R^{2}} = \frac{M}{f^{2}} = \frac{2 π}{f} (f - \sqrt{f^{2} - {(D / 2)}^{2}}) = 0,200 sr

Der Unterschied zum Ergebnis der vereinfachten Rechnung bleibt vernachlässigbar klein.

Aufgabe 1: Die Strahlstärke der Sonne ↓

Gleichungen ↓

Wie kann die Strahlstärke in einem Raumwinkel mit beliebiger Orientierung im Raum dargestellt werden? Hierfür benötigt man ein Koordinatensystem. Es bieten sich räumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) an:

Abstand r zum Ursprung (bzw. Radius R einer Kugel),
Winkel φ gegen die x-Achse (Azimutwinkel), und
Winkel ϑ gegen die z-Achse (Zenitwinkel).

Ist die Strahlungsleistung in unterschiedliche Richtungen sehr veränderlich, muss eine differenzielle Darstellung der Strahlstärke genutzt werden. Sie ergibt sich aus der differenziellen Strahlungsleistung geteilt durch den differenziellen Raumwinkel um die jeweils betrachtete Orientierung herum:

I = \frac{d Φ}{d Ω}

Die folgende Grafik zeigt einen aus der Fläche da im Abstand R vom Koordinatenursprung gebildeten Raumwinkel

d Ω = \frac{d a}{R^{2}}

Die oben genannte x-Achse weist in Richtung φ=0, die z-Achse in Richtung ϑ=0; in der Grafik sind beide nicht explizit dargestellt.

Ein differenzielles Flächenelement da auf einer Kugeloberfläche. Die Fläche da muss nicht rechteckig sein, da der Rand infinitesimaler Flächen keine definierte Form aufweist.

Die Seiten von $d a$ sind $R sin ϑ d φ$ in Richtung Azimut und $R d ϑ$ in Richtung Zenit. Ihr Produkt geteilt durch $R^{2}$ ergibt den differenziellen Raumwinkel

d Ω = sin ϑ d ϑ d φ

Eine Strahlstärke in der Orientierung dieses Raumwinkels führt zu einer differenziellen Strahlungsleistung:

d Φ = I d Ω = I (ϑ, φ) sin ϑ d ϑ d φ

Im Raum integriert zwischen Anfangswinkeln "1" und Endwinkeln "2":

Φ = \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} I (ϑ, φ) sin ϑ d ϑ d φ

Für einen isotropen Strahler mit richtungsunabhängiger Strahlstärke kann das Integral gelöst werden. Bei einem kegelförmigen Raumwinkel wie in der linken Grafik, der aber in Richtung Zenit orientiert ist, variiert der Azimutwinkel $φ$ von 0 bis $2 π$ . Der Zenitwinkel $ϑ$ variiert von 0 bis zum halben Öffnungswinkel $ϑ'$ :