Elektromagnetische Wellen (2/4)
Die Eigenschaften elektromagnetischer Wellen untersuchen wir nun genauer. Wir haben auf
Seite 1 dieses Kapitels gesehen, dass mono- chromatische Wellen
im Raum durch die Wellenlänge λ charakterisiert werden, und in der Zeit durch die Periode
T oder die Frequenz f, mit f=1/T.
Dies kann man durch eine Sinusfunktion für das elektrische Feld E darstellen, die um E=0
schwingt und deren Maximum als Amplitude Eo der Welle bezeichnet wird.
Die räumliche Periodizität von E(x) über der x-Achse lässt sich daher folgendermaßen schreiben:
...und die zeitliche Periodizität über der t-Achse ist:
Verknüpft man die räumlichen und zeitlichen Eigenschaften in einer einzigen Gleichung, so folgt schließlich
für das elektrische Feld, das eine Funktion zweier Variablen x und t wird:
Polarisiertes Licht ↓ ↑
Elektromagnetische Wellen sind oft polarisiert. Lesen Sie in Ergänzung 3.1, was dies bedeutet und welche Arten der Polarisation es gibt.
Gleichungen ↓ ↑
Mathematische Gleichungen werden mit der
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Der Sinus ist in Vielfachen von 2π seines Arguments periodisch. Daher nehmen die Sinusfunktionen in der linken Spalte mit
oder
oder
wobei n ganzzahlig ist, jeweils den gleichen Wert
an.
Allgemeiner gilt, dass die Auslenkung E(x,t) des elektrischen Felds immer den gleichen Wert
(der nicht unbedingt gleich Null sein muss) annimmt, wenn sich die Welle längs der x-Achse um Vielfache von λ und längs der
t-Achse um Vielfache von T ausgebreitet hat. Die Bedingung für einen gleichbleibenden Wert der Auslenkung ist ein konstanter Wert des Arguments
(oder: der Phase) der Sinusfunktion:
Wir berechnen die Geschwindigkeit dieser konstanten Auslenkung durch Ableiten von x nach t:
Ableitungen
↓
↑
Aus dem Mathematikunterricht sind Ihnen Funktionen f geläufig, die von einer Variablen x
abhängen, f(x). Die Ableitung von f nach x wird dann als
f’ geschrieben.
In der Physik sind jedoch viele unterschiedliche Größen von Interesse, z.B. die Lage eines Objekts und seine Geschwindigkeit, das elektrische
und das magnetische Feld und so weiter, die in vielen Fällen nach der Zeit t, dem Ort x und anderen Variablen abgeleitet werden sollen.
Dann ist das Zeichen “ ’ ” als Symbol für die Ableitung nicht mehr sinnvoll,
da nicht deutlich wird nach welcher Variablen man nun ableiten möchte. Die fehlende Eindeutigkeit kann leicht gelöst werden,
indem man die Ableitung als Quotient zweier Differenziale schreibt, welche die Funktion und die Variable explizit enthalten.
Im vorliegenden Fall sind dx und dt diese Differenziale, und die Ableitung von x
nach t schreibt sich dann:
Das Symbol ‘d’ und die darauf folgende Größe bezeichnet eine infinitesimal
kleine Differenz dieser Größe, also ihr Differenzial.
Lesen Sie mehr zum Thema Funktionen mehrerer Variabler und ihrer Ableitung in der Ergänzung 2.6.
Der Term dx/dt ist die sogenannte Phasengeschwindigkeit c der Welle, und es folgt:
Dieses Ergebnis folgt aus rein geometrischen Betrachtungen. Es gilt daher für alle Arten von Wellen, zum Beispiel
Wasserwellen, Schallwellen,... Bei elektromagnetischen Wellen ist dies die Lichtgeschwindigkeit, und ihre Größe im Vakuum ist
c=2,998·108 m/s
oder circa 300 000 km/s. Die Lichtgeschwindigkeit in Luft ist geringfügig kleiner als ihr Wert in Vakuum,
in Wasser ist sie etwa 225 000 km/s, und in Glas etwa 200 000 km/s. Lesen Sie mehr über die Lichtgeschwindigkeit in der
Ergänzung 1.3.
Aufgabe: Laufzeit des Sonnenlichts und Mondlichts bis zur Erde ↓ ↑
a) Der Abstand der Erde von der Sonne ist etwa 150·106 km. Wie viel Zeit (in Sekunden und in Minuten)
dauert es, bis das von der Sonne ausgesandte Licht die Erde erreicht?
b) Der Mond ist von der Erde 384 000 km entfernt, also viel näher als die Sonne. Wie viel Zeit verstreicht,
bis das vom Mond reflektierte Sonnenlicht die Erde erreicht?
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Aufgabe: Das Lichtjahr und die Entfernung zu Alpha Centauri ↓ ↑
Der sonnennächste Stern hat den Namen Alpha Centauri. Seine Entfernung wird mit 4,247 Lichtjahren angegeben.
Ein Lichtjahr ist die Strecke, welche das Licht in einem Jahr zurücklegt, eine in der Astronomie sehr oft genutzte
Längeneinheit. Wie vielen Kilometern entspricht ein Lichtjahr? Wie weit in Kilometern ist Alpha Centauri entfernt?
Sie werden feststellen, dass Lichtjahre eine sehr praktische Längeneinheit sind, um Entfernungsangaben
zu fernen Himmelskörpern nicht zu unhandlich werden zu lassen!
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Das Magnetfeld B der elektromagnetischen Welle kann durch eine zum elektrischen Feld analoge Gleichung geschrieben werden:
E und B schwingen senkrecht zueinander, wie in der Grafik auf der vorhergehenden Seite zu sehen ist. Darüber hinaus
schwingen beide Feldgrößen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, hier zur x-Achse.
